CCF03252008003

rn

rn

(2.37)

Z ^di^xj = Z ^b<y.’

j=i    i=t

to obydwa rozwiązania są rozwiązaniami optymalnymi.

TWIERDZENIE 4 (o równowadze)

Jeżeli x₁,x₂, — ,x_n jest rozwiązaniem dopuszczalnym ZP oraz y_I;y₂, ...,y_m rozwiązaniem dopuszczalnym ZD, to aby te rozwiązania byiy rozwiązaniami optymalnymi, wystarcza, że spełnione są następujące warunki:

n

Z a,jXj < b, => y, = 0, 7=1	(2.38)
m Z a,jyt > Cj => Xj = 0, i= l	(2.39)
>’i > ^0 => Z ^an^xi = ^bi-	(2.40)
7= l
rn Xj> 0=> Z ^aij Ti = ^ci •	(2.41)

i = 1

Twierdzenie o równowadze wykorzystujemy do sprawdzania optymalno-ści znanego rozwiązania dopuszczalnego lub do znajdowania rozwiązania optymalnego dla przypadku szczególnego, gdy zadanie PL ma tylko dwa warunki ograniczające.

2.4.3

Interpretacja ekonomiczna zadania dualnego

Przyjmijmy, że zadanie pierwotne (2.34) opisuje problem maksymalizacji przychodu osiąganego z produkcji n wyrobów. Zużycie środków produkcji nie może przekroczyć zasobów, jakimi dysponujemy. Niech waga Cj oznacza cenę j-tego wyrobu, współczynnik a_t, — wielkość zużycia /-tego środka na produkcję jednostki j-tego wyrobu, wyraz wolny h, — zasób /-tego środka produkcji, a zmienna Xj — wielkość produkcji j-tego wyrobu.

Aby nierówności w zadaniu (2.35) miały sens, zmienną y, interpretujemy jako cenę /-tego środka. Załóżmy, że konkurent chce nabyć od producenta środki produkcji. Jaką ich cenę powinien zaoferować?

Z pewnością chciałby odkupić środki produkcji najtaniej. Proponuje więc,

aby suma Z /^.y,, czyli wartość funkcji celu zadania dualnego, była minimal-

i-i

na. Konkurent musi się liczyć z faktem, że jeżeli zaoferuje producentowi zbyt niską cenę, to ten posiadanych środków nie sprzeda. Cena za niska to taka,

kiedy przychód ze sprzedaży tych środków byłby niższy od przychodu, jaki producent może uzyskać kierując je do produkcji. Gdyby producent sprzedał środki niezbędne do produkcji jednostki /-tego produktu po cenach y_t

m

(i = 1,2,    to dostałby sumę £ a_i;y_f.

1= 1

Opłaci się więc sprzedać środki, jeżeli:

m

'Ł^ai_jyi>c_j (/ = l,2,...,n).    (2.42)

i = 1

Warunek (2.42) stanowi ograniczenie zadania dualnego. Zadanie dualne jest więc zadaniem, jakie powinien rozwiązać konkurent pragnący nabyć środki produkcji od producenta, jeżeli chciałby działać racjonalnie i liczy na racjonalne zachowanie producenta.

Jak wynika z twierdzenia 3, optymalna wartość zmiennej y, określa nam, o ile wzrośnie (zmniejszy się) przychód, jeżeli zwiększymy (zmniejszymy) zasób i-tego środka produkcji o jednostkę. Ten wniosek jest prawdziwy, gdy zmiany mieszczą się w dopuszczalnych granicach i dotyczą tylko jednego środka. Zmienna dualna y, określa więc zgodnie z neoklasyczną teorią ekonomii krańcową produktywność jednostki /-tego środka.

Jeżeli produktywność /-tego środka wyznaczona przez optymalne y_t wynosi 10 PL.N, a cena, po jakiej nabywa producent i-ty środek, c,- — 8 PLN, to opłaci się zwiększyć zasób /-tego środka o taką ilość, aż nastąpi zrównanie wartości y, z wartością c,. Jeżeli natomiast c, wynosi 12 PLN i po tej cenie można sprzedać jednostkę i-tego środka, to przy y, równej 10 PLN należy zmniejszyć zasób /-tego środka, gdyż więcej zyskamy przeznaczając jednostkę /-tego środka na sprzedaż niż do produkcji.

Dosyć oczywistą interpretację ekonomiczną mają w tej sytuacji warunki (2.38) — (2.41) twierdzenia o równowadze:

1)    jeżeli zużycie /-tego środka produkcji jest mniejsze od posiadanego zasobu, to wycena (krańcowa produktywność) jednostki Z-tego środka jest zerowa,

2)    jeżeli wartość środków zużytych na wytworzenie jednostki /-tego produktu jest większa od jego ceny, to produkcja tego wyrobu jest zerowa,

3)    jeżeli wycena /-tego środka jest dodatnia, to zużycie środka musi być równe jego zasobowi,

4)    jeżeli produkcja /-tego wyrobu jest dodatnia, to wartość środków zużytych na jednostkę /-tego produktu jest równa jego cenie.

31