CCF20090120112

głość przebyta w ciągu kolejnych przedziałów czasu. Ponieważ przebytą odległość wyznacza iloczyn prędkości (y') przez czas, jaki upłynął (Arc), możemy zatem przyjąć, że kolumny te reprezentują y'&x. Oczywiście, istnieje pewna doza niepewności co do wartości y': jeżeli np. x rośnie od wartości 0,6 do 0,7, y' również wzrasta od 0,6 do 0,7 i nie wiadomo, czy powinniśmy jako y przyjąć wartość 0,6 czy 0,7, czy też jakąś liczbę pośrednią. Właśnie z powodu tej niepewności mamy dwie kolumny: jedną zatytułowaną „co najmniej”, a drugą — „co najwyżej”. O 'tym należy pamiętać.

Następnie oceniamy odległość przebytą w ciągu całej pierwszej sekundy sumując liczby czwartej i piątej kolumny. Tak więc, „suma wyrażeń y'Ax” wynosi (co najmniej) 0,45 i (co najwyżej) 0,55.

Mamy tu dwie oceny — jedną raczej za małą i drugą raczej za dużą. Ale na szczęście, jeżeli będziemy rozpatrywali niniejsze odcinki czasu, tj. jeżeli jako Acc przyjmiemy wartość 0,01 albo 0,001 itd., to te dwie oceny będą się coraz bardziej zbliżać do siebie. Inaczej mówiąc, jeżeli Ax będzie bardzo małe, to bardzo małe będzie znaczenie tego, czy przyjmiemy jako y' największą, czy najmniejszą prędkość występującą w tym przedziale czasu. Bez względu na to, którą z nich przyjmiemy, otrzymamy tę samą odpowiedź. Gdyby tak nie było, to powinnibyśmy wprowadzić nowy symbol, np. y'Ax(N), na oznaczenie „iloczynu najmniejszej prędkości, y\ przez zmianę Ax wielkości x”. Ale — jak się okazało — byłaby to niepotrzebna strata czasu. Najmniejsza i największa prędkość dają odpowiedzi zbliżające się do siebie coraz bardziej, gdy Ax zmniejsza się.

W rozdz. 10 wspomnieliśmy, że ^ zbliża się

coraz bardziej do pewnej liczby, gdy Ax staje się coraz mniejsze. Liczbę tę oznaczyliśmy przez dy

- ~ . Podobnie, liczbę, którą dopiero co ocenialiśmy, tzn. liczbę, która jest większa niż 0,45, ale

mniejsza niż 0,55, większa niż 0,495, ale mniej-

i

sza niż 0,505 itd., oznaczamy przez $ y'dx. Znak

o

5 jest stylizowaną literą S, pierwszą literą słowa „suma”. Znak ten ma wskazywać, że liczbę tę można znaleźć mnożąc y przez Ax dla każdej drobnej części rozpatrywanego przedziału czasu, sumując te iloczyny i badając, co nastąpi, gdy Ax stanie się bardzo małe. Liczby 0 i 1, towarzyszące symbolowi J, mają wskazywać, że interesuje nas odległość przebyta w ciągu pierwszej sekundy, tj. pomiędzy x = 0 i x = 1. Inaczej mówiąc, zmianę x od 0 do 1 należy rozbić na małe zmiany Ax, tak jak w pierwszej kolum-

5

nie tab. 14. J y'dx oznacza odległość przebytą

2

w okresie czasu od drugiej do piątej sekundy od

71

chwili startu. $ ydx oznacza odległość przebytą ó

w ciągu pierwszych n sekund. Ponieważ przyjęliśmy, że y dane jest wzorem y — x, może-

x

my zastąpić y przez x i pisać $ x dx. Na

o

podstawie przytoczonych wyżej rozważań wydaje się bardzo prawdopodobne, że szukaną liczbą jest 0,5 i można ''wykazać, że tak jest istotnie.

i

A więc 0,5 = \x dx. Symbol $ nosi nazwę „sym-o

bólu całki”. „Całkować” znaczy „tworzyć całość”; termin ten wywodzi się stąd, że proces całkowania polega na składaniu dużej ilości ma-

15*

227