CCF20090120130

W położeniu D punkt P porusza się na prawo z prędkością 1 stopy na sekundę. A więc x = = 1. W ten sam sposób możemy znaleźć wartości y dla punktów A i B. W położeniu A punkt P porusza się do góry, y rośnie, y = 1. W położeniu B punkt P porusza się w dół, y' = — 1.

Punkt P osiąga położenia A, C, B i D po upływie (w przybliżeniu) 0, 1,57, 3,14, 4,71 sek. Możemy więc rozwinąć tabelę zamieszczoną poprzednio w tym rozdziale:

Położenie    A C B D

t — czas w sekundach

' =	kąt	w radianach 0		1,57	3,14	4,71
X —	cos	t = OQ	+ 1	0	— 1	0
y =	sin	t = QP	0	+ 1	0	-1
x'			0	-1	0
y			T1	0	—1	0

Przyjrzyjmy się poszczególnym wierszom tej tabeli. Wiersz y jest taki sam jak wiersz x; wiersz x' różni się od wiersza y tylko znakiem. To sugeruje, że y' = x i że x =.—y. Oczywiście, nie mamy jeszcze na to dowodu; nawet nie można twierdzić, że te równania są wysoce prawdopodobne. Wzięliśmy tylko cztery punkty z całego okręgu i na ich podstawie wysunęliśmy nasze przypuszczenia. (Równanie y — x³ równie dobrze pasowałoby do powyższej tabeli.) Traktując te wyniki jedynie jako śmiałe przypuszczenie, możemy je jednak zbadać.

Pozostawiamy Czytelnikowi przytoczenie dalszych faktów, świadczących o prawidłowości podanych wzorów, przez rozpatrzenie punktów leżących pomiędzy A i C. Możemy przy tym korzystać z gotowych tablic sinusa i cosinusa. Należy przy tym pamiętać, że kąt t obliczamy w radianach (jeden stopień = 0,01745 radiana). W ten sposób możemy przekonać się, że przypuszczenie było istotnie słuszne.

Potwierdzenie tego wyniku możemy także otrzymać na rysunku. Na ryc. 50 E jest położeniem punktu P po upływie pewnego czasu, t sekund. Znaczy to, że gdyby na okrąg nawinąć t stóp taśmy zaczynając od punktu A, to nawinąę-

Ryc. 50

cie zakończyłoby się ęw punkcie E. Trochę później punkt P przesunie się do położenia F, nieco dalej na okręgu. Dodatkowy kawałek taśmy, EF, będzie miał At stóp długości. Jeżeli punkt F jest bardzo bliski punktu E, to kawałek taśmy EF będzie bardzo zbliżony do odcinka prostoliniowego i nie popełnimy wielkiego błędu, jeżeli przyjmiemy, że At określa długość odcinka prostoliniowego EF.

Odcinek EG jest poziomy, a odcinek GF pionowy. A więc GF wyraża przyrost wysokości punktu P, gdy P przesuwa się z E do F, tzn, GF — Ay. Jak łatwo zauważyć, kąt GFE jest prawie dokładnie równy kątowi AOE, który wynosi t radianów. A więc mamy przybliżoną równość GF = FE cos t. (Im EF jest mniejsze, z tym lepszym przybliżeniem spełniona jest ta równość.) A więc w przybliżeniu Ay = At cos t.

Gdy At staje się coraz, mniejsze, wówczas — =

= cos t.

263