IMG!53

łlTwfcTł**K^/WSuł

stosowanego wówczas, gdy w analizowanym ciele występuj-i źródła (lub upusty) _Cle. p/a. np. mo/c ro być ciepłu Joule*u-Lcn/a wydzielające podcza* pr/cplywu prądu dek. tryćzncgo. W przypadku gdy w ciele mc występują ani źródłu ani upusty ciepła, równ*. nic (10 II) upraszcza się jeszcze bardziej, sprowadzając się do tak zwunego równany Łapiące 'a:

V~/ = 0

00 12)

którego konkretna postać zależy o<J tego. w jakim układzie współrzędnych rozpatruje-my duny przypadek Dla układu wzajemnie prostokątnych współrzędnych x. y, z (kan_c-zjański) Japlosjan z równania (10.12) określony jest zależnością (10.10). Ponieważ jednak bardzo częstym przypadkiem w obliczeniach wymiany ciepła są rury lub wszelkie-go typu powierzchnie cylindryczne, poniżej pokazano laplasjan dla cylindrycznego układu współrzędnych:

(10.13)

IJLf Ł ]    ifi

dr ( Dr J _r² Dtp² Dz²

w którym współrzędna r odpowiada promieniowi wodzącemu punktu, a tp kątowi mię-dzy promieniem wodzącym r i osią rzędnych x w prostokątnym układzie x, y. z.

Podane powyżej równania są równaniami różniczkowymi cząstkowymi i do swego rozwiązania wymagają odpowiednich warunków jednoznaczności, w tym, w szczególności warunków początkowych i brzegowych przy nieustalonej wymienić ciepła albo też warunków brzegowych przy ustalonej wymienię ciepła. Szczegółowe rozważania rozwiązań tych równań nie będą tu prowadzone, niemniej, dwa przykłady zostaną pokazane przy wyprowadzeniu wzorów dla tzw. prostych przypadków ustalonej wymiany ciepła.

10.2.2. JEDNOWYMIAROWE,

USTALONE PRZEWODZENIE CIEPŁA

Poniżej pokażemy dwa proste przykłady ustalonego przewodzenia ciepła dla cia! bez źródeł i upustów (q_v * 0), w których przyjmuje się dodatkowo następujące uproszczenia:

przepływ ciepła jest jednowymiarowy (wzdłuż jednej tylko, wyróżnionej osi/wy-miaru);

przewodność cieplna ciała me zależy od temperatury ani od czasu (X ^m idem). a ponadto ciało jest izotropowe.

F

Przewodzenie ciepła w przegrodzie (ściance) płaskiej

Jeżeli można przyjąć. że przepływ ciepła przez przegrodę płaską jest . »rovry (np tylko w/dłuż osi x). to zgodnie z podanymi powyżej za mami ^(jii 7 rysunku 10.1. równanie Fouriera (10.7) dla lego układu tprow za się

taei

(10.14)

i ^dl

^qm-^x £

0    g    *

R>,. 10.1. Przewodzenie ciepła przez ściankę płaską o grubości g i przewodności cieplnej X dla temperatur na powierzchniach przegrody. t_m, > !_mi

Po rozdzieleniu zmiennych, równanie to uzyskuje postać funkcji, którą można obustronnie scałkować w granicach: temperatury od t_w, do i_w2 » zmiennej przestrzennej

od 0 do g:

(Ul. lAa)

Po scałkowaniu i uporządkowaniu równania (10.14a) otrzymujemy ostatecznie wzór na powierzchniową gęstość strumienia ciepła przewodzonego przez mcskoflctt-

n;c rozległy ściankę płaską:

(10.15)

</=- K,-'*,) tw/™¹)

K

191