Kratownice 2

14. MACIERZOWA ANALIZA SIŁ W PRĘTACH KRATOWN1CY PŁASKIEJ

14.1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem rachunku macierzowego do określania sil w prętach płaskiej kratownicy statycznie wyznacza!nej.

14.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY

Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia: « Założenia technicznej teorii kratownic.

•» Metody rozwiązywania kratownic.

<3 Podstawy rachunku macierzowego.

143. WSTĘP TEORETYCZNY

Kratownicą statycznie wyznaczalną będziemy nazywali kratownicę, w której liczba niewiadomych sil w prętach oraz reakcji podporowych jest równa liczbie równań równowagi. Rozważania ograniczymy do kratownic płaskich, spełniających założenia technicznej teorii kratownic, tzn. odpowiednio podpartych (statycznie zewnętrznie wyznaczalnych), geometrycznie niezmiennych zbudowanych z prętów przegubowych i obciążonych w węzłacłt. W takim przypadku siły w prętach tworzą w każdym z węzłów kratownicy zbieżny układ sił. Dla kratownicy posiadającej ni węzłów oraz n prętów' możemy napisać 2rn równań równowagi odpowiadających rzutom sił na osie układu współrzędnych:

^aux^si + ^a,2*^s? +a_l3xS_}+........+ P_n = 0

^aily^Sl + ^ai2y^S2 + ySj +........+ ^Pl y = ⁰

(14.1)

o_llxS, + a_i2xS₂ + a_i}xS_} -t-........^+alllxS_n + P_a =0

“,h^si ⁺“,2yS) +a_l}yS_}+........+ P,_y = 0

gdzie: S, - siła wewnętrzna w pręcie o numerze

a„_t , a,j, - współczynniki w równaniu równowagi dla węzła    m zrzutowanym

odpowiednio na osie x i y układu współrzędnych stojące przy sile wewnętrznej o numerze j,

P„ , P,y - rzuty sil zewnętrznych (uwzględniając reakcje więzów) na osie x i y układu współrzędnych, przyłożonych w węźle i.

Współczynniki a„., a„. mogą być równe zero lub być różne od zera w zależności od tego, czy dany pręt występuje w rozpatrywanym węźle, czy też nie występuje. Układ równań równowagi (14.1) możemy zapisać zatem w postaci macierzowej:

P = -A S    (14,2)

gdzie: P - macierz kolumnowa składowych sił zewnętrznych przyłożonych w węzłach zawierająca niewiadome podporowe,

A - macierz współczynników równań równowagi węzłów',

£ - macierz kolumnowa sił wewnętrznych.

Istota macierzowej metody wyznaczania sił w prętach kratownicy polega wiec na automatycznym generowaniu równań równowagi wszystkich węzłów kratownicy i zapisaniu ich w postaci macierzowej. Równania te umożliwiają wyznaczenie sił we wszystkich n prętach oraz wyznaczenie 3 niewiadomych reakcji podporowych. Kluczem do tej metody jest macierz A, której struktura zależy od postaci konstrukcyjnej analizowanej kratownicy. W dalszej części pokażemy sposób budowy tej macierzy. Dla lepszego zrozumienia prezentowanego algorytmu w rozdziale 4 zamieszczono przykład obliczeniowy.

14.3.1. Budowa macierz)' połączeń

Macierz połączeń zawiera konfigurację kratownicy, tzn. zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów' w poszczególnych węzłach. Obliczenia rozpoczynamy od ponumerowania w dowolnej kolejności węzłów i prętów kratownicy [9j (rys. 14.2). Przyjmujemy, że początkiem pręta jest węzeł o niższym numerze. Następnie budujemy macierz połączeń węzłów

K = [A;,,]/ i = 1.2.....m; j = 1.2.....n.    (14.3)

gdzie: m - liczba węzłów, n - liczba prętów, i - numer węzła, j - numer pręta.

Wiersze macierzy A odpowiadają węzłom, a kolumny prętom (patrz (14.12)). W każdej kolumnie znajdują się tylko dwa niezerowe elementy:

„1”    - w wierszu o numerze równym numerowa węzła, który jest początkiem pręta,

1 ”    - w wierszu odpowiadającym końcowi pręta.

14.3.2. Budowa macierzy współrzędnych węzłów

Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych. Dla uproszczenia zapisu osie układu oznaczymy jako 1 i 2 w miejsce * i y (rys. 14.1). Macierz współrzędnych węzłów ma następującą postać:

A' = [,v„]/ i = 1.2,..., m; j = 1.2.    (14.4)

Wiersze macierz)' odpowiadają poszczególnym węzłom kratownicy, natomiast kolumny współrzędnym węzłów względem osi 1 i 2 (patrz (14.13)).

- 125-