01

14. MACIERZOWA ANALIZA SIŁ W PRĘTACH KRATOWNICY PŁASKIEJ

14.1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z zastosowaniem rachunku macierzowego do określania sił w prętach płaskiej kratownicy statycznie wyznaczalnej.

14.2. OBOWIĄZUJĄCY ZAKRES WIEDZY

Student przed przystąpieniem do ćwiczenia powinien znać następujące zagadnienia:

•    Założenia technicznej teorii kratownic.

•    Metody rozwiązywania kratownic.

•    Podstawy rachunku macierzowego.

14.3. WSTĘP TEORETYCZNY

Kratownicą statycznie wyznaczalną będziemy nazywali kratownicę, w której liczba niewiadomych sił w prętach oraz reakcji podporowych jest równa liczbie równań równowagi. Rozważania ograniczymy do kratownic płaskich, spełniających założenia technicznej teorii kratownic, tzn.- odpowiednio podpartych (statycznie zewnętrznie wyznaczalnych), geometrycznie niezmiennych zbudowanych z prętów przegubowych i obciążonych w węzłach. W takim przypadku siły w prętach tworzą w każdym z węzłów' kratownicy zbieżny układ sił. Dla kratownicy posiadającej m węzłów oraz n prętów możemy napisać 2m równań równowagi odpowiadających rzutom sił na osie układu współrzędnych:

a_lixS, +a,,_xS, +a_l3lS,+........+a_inxS„ + P_tJ =0

^a>iySi ⁺ aHyS₂ + ^au_yS}+........^+am> S_n + P,_y = 0

(14.1)

Q,IjSi -r Ct^_xSy + O_j3xS ₍ +........_nxS_n + P_a — 0.

^a,l>Sl ^+a,2y^2 ^+ai3yS)⁺........^+a,nyS„ + P,y = 0

gdzie: S, - siła wewnętrzna w pręcie o numerze j=l..,n,

a,„ , a_m - współczynniki w równaniu równowagi dla węzła /=/..., m zrzutow'anym odpowiednio na osie x i y układu współrzędnych stojące przy sile wewnętrznej o numerze j,

P„ , P„ - rzut}' si! zewnętrznych (uwzględniając reakcje więzów) na osie x i y układu współrzędnych, przyłożonych w węźle i.

Współczynniki a,„ , a_m mogą być równe zero lub być różne od zera w zależności od tego, czy dany pręt występuje w rozpatrywanym węźle, czy też nie występuje. Układ równań równowagi (14.1) możemy zapisać zatem w postaci macierzowej:

(14.2)

P = -AS

gdzie: P - macierz kolumnown składowych sił zewnętrznych przyłożonych w węzłach zawierająca niewiadome podporowe,

A - macierz współczynników równań równowagi węzłów,

S - macierz kolumnowa sil wewnętrznych.

Istota macierzowej metody wyznaczania sił w prętach kratownicy polega więc na automatycznym generow^raniu równań równowagi wszystkich węzłów kratownicy' i zapisaniu ich w postaci macierzowej. Równania te umożliwiają wyznaczenie sił we wszystkich n prętach oraz wyznaczenie 3 niewiadomych reakcji podporowych. Kluczem do tej metody jest macierz A, której struktura zależy od postaci konstrukcyjnej analizowanej kratownicy. W dalszej części pokażemy sposób budowy tej macierzy. Dla lepszego zrozumienia prezentowanego algorytmu w rozdziale 4 zamieszczono przykład obliczeniowy.

14.3.1. Budowa macierzy połączeń

Macierz połączeń zawiera konfigurację kratownicy, tzn. zapisana jest w niej informacja o połączeniach prętów w^r poszczególnych węzłach. Obliczenia rozpoczynamy od ponumerow'ania w dowolnej kolejności węzłów i prętów kratownicy [9] (rys.14.2). Przyjmujemy, że początkiem pręta jest węzeł o niższym numerze. Następnie budujemy macierz połączeń węzłów

(14.3)

gdzie: m - liczba węzłów', n - liczba prętów, i - numer węzła, j - numer pręta.

Wiersze macierzy A odpowiadają węzłom, a kolumny prętom (patrz (14.12)). W każdej kolumnie znajdują się tylko dwa niczerowe elementy:

„1”    - w' wierszu o numerze równym numerowi węzła, który' jest początkiem pręta,

„-1”    - w'wierszu odpowiadającym końcowa pręta.

14.3.2. Budowa macierzy współrzędnych węzłów

Obieramy dowolny prostokątny układ współrzędnych. Dla uproszczenia zapisu osie układu oznaczymy jako i i 2 w miejsce x i y (rys. 14.1). Macierz współrzędnych węzłów ma następującą postać:

(14.4)

Wiersze macierzy odpowiadają poszczególnym węzłom kratownicy, natomiast kolumny współrzędnym węzłów' względem osi 1 i 2 (patrz (14.13)).