lastscan48

Dyskontowanie składane jest działaniem odwrotnym do oprocentowania

składanego.

Przykład 3.24

Chcemy za 3 lata spędzić urlop w Grecji. Będziemy wówczas potrzebowali około 3500 zł. W związku z tym zamierzamy wpłacić teraz odpowiednią kwotę nj 3-letnią lokatę o stałym rocznym oprocentowaniu 7%. Jaka to kwota, jeśli wartośt wpłaty na interesującą nas lokatę musi być wielokrotnością 100 zł?

Podstawiamy we wzorze (3.56) F = 3500, r = 7% i ptrzymujemy

P = 3500(1 +0,07) ~³ = 2857,04 zł.

Możemy więc wpłacić 2800 zł albo 2900 zł i wtedy po 3 latach otrzymamy,! odpowiednio, 3430,12 zł albo 3552,62 zł.

■

Z wzoru (3.56) wynika, że dyskontując wartość kapitału F na moment wcześniejszy o n lat, w-krotnie mnożymy F przez czynnik

v=(|+r)-\    (3.61)

który nosi nazwę rocznego czynnika dyskontującego "’ i - jak widać - jest odwrotnością rocznego czynnika oprocentowującego p = 1 + r. Gdy do oprocentowania kapitału używamy czynnika oprocentowującego p. to roczny wzrost wartości kapitału jest dany stopą procentową r = p- 1. Gdy zaś do dyskontowania używamy czynnika dyskontującego v, to roczny spadek wartości kapitału jest dany roczną stopą dyskontową

(3.62)

d = 1 — v = 1

1+r    1+r

Zwracamy uwagę Czytelnika na powyższy wynik, ponieważ w wielu pozycjach literatury można spotkać się z błędnym określaniem stopy procentowej r, używanej do dyskontowania wartości kapitału, mianem stopy dyskontowej.

Model (3.56M3.57) zapisany przy użyciu rocznego czynnika dyskontującego ma postać równań

P = /V\    (3.63)

D = F(l-v").    (3.64)

a przy użyciu rocznej stopy dyskontowej

P = F(\-d)^m,    (3.65)

D = F(l—(!-</)"].    (3.66)

¹⁰ Niekiedy, zwłaszcza wśród praktyków, n-okresowy czynnik dyskontujący przy okresowej stopie procentowej i jest oznaczany angielskim skrótem PVIF(i, n) (presrnt value interest facior). Dla n - I mnmy v » FVIF(i. I).

I Przykład 3.25

W przykładzie 3.24 stopa oprocentowania rocznego wynosi r =» 7%. a roczny nik oprocentowujący p = 1,07. Roczny czynnik dyskontujący obliczamy według wzoru (3.61)

v = 1.07"' = 0.9346,

u roczną stopę dyskontową według wzoru (3.62)

0,07

TÓ7

= 6,54%.

Występujące w tym przykładzie stopy i czynniki mają następującą interpretację, ta stopa procentowa r - 1% oznacza, o ile procent zwiększa się początkowa lość kapitału w efekcie rocznego oprocentowania, a roczna stopa dyskontowa 1% oznacza, o ile procent zmniejsza się końcowa wartość kapitału [efekcie rocznego dyskontowania. Z kolei, roczny czynnik oprocentowujący 4,07 wyraża stosunek wartości kapitału na koniec roku do wartości tego iitahi z początku roku, a roczny czynnik dyskontujący v = 0.9346. jako )tność czynnika oprocentowującego, wyraża stosunek wartości kapitału :zątku roku do wartości tego kapitału na koniec roku.

Trzyletnie dyskontowanie kwoty 3500 zł według wzorów (3.63) i (3.65) /adzi, oczywiście, do otrzymania tej samej wartości P, którą otrzymaliśmy /kładzie 3.24,

P = 3500 • 0.9346⁵ = 2857,04 zł oraz P = 3500( 1 -0,0654)’ = 2857,04 zł.

■

W punkcie 3.2 zdefiniowaliśmy model jednolitego oprocentowania wykład-go, który ma postać równań identycznych z modelem oprocentowania go, lecz występuje w nim zmienna czasowa o wartościach n e R*. ógicznie definiuje się model jednolitego dyskontowania wykładniczego -t to układ równań (3.56H3.57) ze zmienną czasową o wartościach n € /?*. Do u modeli typu wykładniczego odwołamy się w rozdziale 4 przy omawianiu ian wartości kapitału w czasie.

3.9. Oprocentowanie i inflacja

Analizując zmiany wartości kapitału w wyniku oprocentowania i dyskontowania, pomijaliśmy dotychczas efekt inflacji, czyli spadek siły nabywczej kapitału. Miarą inflacji w ustalonym okresie jest okresowa stopa inflacji, która wyraża wzrost poziomu cen towarów i usług w tym okresie. Inflacyjny wzrost cen w bieżącym okresie nakłada się na zwiększone ceny z poprzedniego okresu, zatem modelem opisującym inflacyjne zmiany cen jest model oprocentowania składanego. Ponadto, ponieważ itopy inflacji w kolejnych okresach zwykle mają różne

105