lastscan74

końcowy renty. Alternatywnie, można bezpośrednio skorzystać z wzoru (5.3) i wyprowadzonej wcześniej postaci wyrażenia dla wartości początkowej. Otrzymuj jemy wówczas

F= R(\+iY

1-0+0

Obliczyć zatem mamy wysokość raty A* w rencie układającej się / n 12 rut

alnych, dla której P = 10000 przy kwartalnej stopie i 2%. Na podstawie

ru (5.4) otrzymujemy

R =

10000

10.5753

co prowadzi do gdzie

F - RSftyy

(5.6

Kwota pojedynczej wypłaty wynosi więc 945,60 zł.

945.60.

^sa] i

0+0"-I

(5.7

Sumę nazywać będziemy czynnikiem oprocentowania renty, natomiast sumę s^, - czynnikiem dyskontowania renty².

Sumom wyrażonym przez ai możemy nadać interpretację finansową. Zauważmy bowiem, że dla renty jednostkowej, czyli renty o jednostkowych ratach. R = 1. wzory (5.4) i (5.6) przyjmują postać P = a^ oraz F = s^,.

a^i oraz możemy interpretować jako wartość początkową i wartość końcową renty jednostkowej o n ratach, przy stopie i dla okresu bazowego.

Uzasadnia to stosowanie w odniesieniu do czynników oprocentowania renty <**1 / i Jsii terminów wartości początkowej i końcowej renty jednostkowej.

Przykład 5.1

Przez dwa lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200 zł na rachunek oprocentowany według stopy i_l2 = 0,5%. Obliczmy stan oszczędności na koniec drugiego roku. Wpłaty tworzą rentę, w której n = 24. R = 200, i = i₁₂ = 0.5%. Stan oszczędności to wartość końcowa tej renty, czyli ze wzoru (5.6) otrzymujemy

F = 200j_OTo.5* = 5086.39 zł.

■

Przykład 5.2

Saldo rachunku bankowego oprocentow'anego według stopy nominalnej 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek wynosi 10 tys. zł. Jaką kwotę można pobierać z tego rachunku co kwartał przez 3 lata, jeśli pierwsza wypłata nastąpi dokładnie za 3 miesiące?

Symbole a^ i dane wzorami (5.5) i (5.7) wywodzą się z oznaczeń stosowanych w naukach aktuarialnych. W programach komputerowych, a także w literaturze bywają one zastępowane prze/ PVIFA(n. i) (presera \-alue interes! factor of annuity) oraz FVIFA(n, i) (futurę value mlerest factor o) annuity).

Przykład 5.3

10-letnie obligacje Skarbu Państwa wyemitowane w listopadzie 2000 r. są obligacjami o stałym oprocentowaniu. Zgodnie z warunkami emisji każda | obligacja daje jej posiadaczowi prawo do rocznych odsetek w wysokości 6% w skali roku płatnych na koniec roku. Wartość nominalna obligacji wynosi 1000 /I Firma XYZ zakupiła 500 takich obligacji. Odsetki od nich będą przelewane na

Pihunek firmy oprocentowany według efektywnej stopy 5%. Obliczymy kwotę, ja po 10 latach zostanie zgromadzona na rachunku firmy z tytułu posiadania ligacji.

j Płatności odsetek (w przypadku obligacji zwane są one kuponami) tworzą nitntę o n = 10 rocznych ratach R = 30 tys. zł ( = 0,06- 1000-500). Stopa ipocentowa renty wynosi i = 5%. W momencie wykupu obligacji, a więc momencie ostatniej płatności kuponowej, co nastąpi w listopadzie 2010 r.. na lunku firmy zgromadzona zostanie kwota F = 30^5% = 377,33678 tys. zł. adlo w momencie ostatniej płatności kuponowej wypłacona zostanie firmie ;ość nominalna wszystkich obligacji, czyli 0.5 min zł. W sumie z tytułu iiadania obligacji i deponowania płatności kuponowych na rachunku bankowym ia zgromadzi po 10 latach kwotę 877 336,78 zł.

■

5.2.2. Renta płatna z góry

W przypadku renty płatnej z góry każda rata płacona jest na początku okresu

>wcgo. Kolejnymi momentami płatności są 0. I.....n— 1, momentem końco

renty jest zaś / = n. Przyjmując symbol /* ^{+ lt} do oznaczenia wartości :zątkowej renty płatnej z góry, otrzymujemy

= + !)-'.

/-O

tomiast dla wartości końcowej

ń — I

r^+,> = R(\ +/r X (i

J-o

Wzory służące do wyceny renty płatnej z góry możemy - podobnie jak dla fnty zwykłej - przedstawić w postaci iloczynu wysokości raty R i czynnika

156

157