1675609770

Rozwiązanie

(a) Skorzystamy z wzoru Ito

, „O^df , 1 2 08* A

d/ =

dS ' 2"

który w przypadku f(S) — Sⁿ, daje nam

d(Sⁿ) = (o + fiS ■ nS¹¹-¹ + ^a²S² • n(n - l),Sⁿ-²)dt + aS • n5^B_1dW^rt. Po uporządkowaniu i podstawieniu = Sⁿ, otrzymujemy następujące równanie d(5⁽ⁿ⁾) = (nfi + -n(n ~ l)o'²)<5^ⁿ^dt + naS^dWt-

(b) Rachunek z punktu (a) możemy przeprowadzić w świecie wolnym od ryzyka. Wówczas, w powyższych równaniach zamiast stopy fi kładziemy stopę wolną od ryzyka r. W szczególności otrzymamy

d(5(ⁿ)) = (_nr + in(n — l)cr²)5^ⁿMt + ncrS^dW_t,

gdzie Wt jest odpowiednio dobranym procesem Winera. Rozwiązanie tego równania w chwili czasu T ma postać

_S(»)(_T) _{= exp} (^_nr + i_n(„ _ 1)_CT2 _ i(_n(r)²)r + naWt^j. Podstawiając

Gq = 5^(0)exp ^((n — l)r + ^n(n — 1)<t²)T^

możemy zapisać to nasze rozwiązanie w postaci

S(“)(T) = G₀ exp ((r - ia²)T + aW,').

Możemy więc potraktować naszą opcję jako opcję na proces G(t), który (w świecie wolnym od ryzyka) spełnia równanie

dG = rGdt + &GdW_t,

z warunkiem początkowym G(0) = Go- Cena opcji cali o cenie wykonania Kⁿ, której instrumentem podstawowym jest G(t), wynosi

G = G(0)$(di) - exp(-rT)Kⁿ$(d₂),