lista1

1, Wektory

1 .)Dane są.trzy wektory 3=[ 1,2,3 ], i = [ 1,0,0 ], c=[ 0,1,1 ], które wyznaczająwierzchołki trójkąta. Należy obliczyć długości boków, kąty i pole powierzchni trójkąta.

2.)Udowodnić, że liczba

a°(bXc)=det

\a_xa_ya,

b,b_yb_I

.Następnie wykazać, że liczba ta jest równa

^Cx^Cy^Cz

objętości równoległościanu o krawędziach danych przez 3,6,3.

3.)Mając dane dwa wektory dib , oznaczmy przez <p kąt między nimi. Obliczyć długości wektorów \a—b\ i |3+6| .Wskazać te długości na rysunku.

4,)Udowodnić nierówność trójkąta:    |3+ó|<|3|+|/>| dla wszystkich wektorów a ib .

5. )Na płaszczyźnie dana jest prosta równaniem ax + by + c = 0. Znaleźć wektory styczne do prostej i wektory prostopadłe do prostej. Wśród znalezionych wektorów wskazać te (cztery), które mają długość = 1.

6. )Znaleźć zbiór wektorów prostopadłych do danego wektora ił’=\a,b,c\ .Można uważać, że wektory te tworzą płaszczyznę. Znaleźć równanie tej płaszczyzny przy założeniu, że przechodzi ona przez punkt 0—[0,0,0] .

7.)Mając wektor w , określamy rzut tego wektora na kierunek określony wektorem u przez

^»(w)=-^r~2y2 .Dopełnieniem ortogonalnym w tym rzucie jest wektor w-F^(iP) .

Przyjmijmy, że wektor ii'=[10^20,l]»j/j jest prędkością wiatru a wektor 3=[l,l,l]m wskazuje kierunek prostopadły do żagla łodzi. Należy wyznaczyć składowe prędkości wiatru prostopadłą i styczną do żagla.

8.)Dla wektora w—[a, b,c\ określamy rzut ortogonalny na płaszczyznę o równaniu Ax + By + Cz + D = 0 oraz dopełnienie ortogonalne w tym rzucie . Proszę obliczyć rzut i jego dopełnienie dla =    —1,3] oraz 2x+y+2z-l=0.

9.)Znaleźć wektory styczne i prostopadłe do okręgu x²+y²=R² na płaszczyźnie w punkcie [xo,yo] na tym okręgu.

10.jSformułować i rozwiązać zagadnienia odwrotne do tych z zadań 5.) i 6.).

Wskazówka do zadań 5.), 6.), 8.), 9.), 10.) :

i na płaszczyźnie wektor prostopadły do krzywej o równaniu F(x,y)=0 można otrzymać jako

,    rdF dF,

dany przez    •

II. w przestrzeni trójwymiarowej wektor prostopadły do powierzchni o równaniu F(x,y,z)=0

. , ,dF dF dF, jest dany jako    •