matma3

oo    oo    x²”^+1    00 (3x)ⁿ

5.Wyznaczyć obszar zbieżności i sumy szeregów: a)£(-tf(2»+iy b)S(-i y^—r

«=o 2^ + 1    «=! n' 4

72=1

d)X(»²+„)r'-'

„=1 „=]« + ^

Wykorzystać: obszar zbieżności wyznaczamy jak w zadaniu 4. Następnie korzystamy z tego, że jeżeli r jest

00    „,«+]    03 f^x    / 03    ^

dt oraz

y o V«=o y

promieniem zbieżności szeregu ^a_nxⁿ i x g (~r,r), to I "»^77 = £ /= J I>X

»=i    «=o n + \ rt=o y o    2 oV«=o

⁰⁰    f ⁰⁰    ^ ⁷    CO __ 77+1    1 OO 77+1    1 OO f X    A 1 X f oo \    ~\ ^X -ł

Zv‘ .Np.£^=Iy^-=Iy Jfdr =-}(y<" df=i}-t-df=

«=i    V«=i 2    n x^Jttn + l x^l^J0 J x^J0{tt J x^J0l-i

= -[-/- ln|/ - }\]^XQ = -{-x- ln|x ~ l|)=- 1 + ^tJ , gdzie x e (-l,l)\{o}, dla x = O ]T-— = 0.

71=1

f_jwc”=xf_jwcⁿ~^l=x(f_jx^ n=1    «=1    \ n=l J

, gdzie x g (- l,l).

n +1

6. Korzy stając z odpowiednich szeregów potęgowych obliczyć sumy szeregów liczbowych: a)    ^

_b)jrfitfłY _C)jr2i±£i

^ n UJ    2"

⁰⁰    1    ⁰⁰ xⁿ    1    ⁰⁰

Wykorzystać: np. dla obliczenia V-wykorzystujemy szereg V —, gdzie x — —. Sumę szeregu V

»=i n-3ⁿ    tt n    3

liczymy jak w zadaniu 5.

xⁿ

»=i »

7.Rozwinąć funkcje w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x₀: a) f(x) = x²e ^x, x₀ = O b)/(x) = xsinx²,

*o = ^{0 c}) f(^x) = VT+ x , x₀ = O d)/(x) = ln(l + x²), x₀ = O e)/(x) = -, x₀ = 3 f)/(x)

3x-l

x² — 2x —3

*o =-3 g)/(x) =

1

x + 4x + 8

x₀ = -2 h) /(x) = sin 2x, x₀ = —

Wykorzystać: szeregiMaclaurina niektórych funkcji elementarnych: e^x =    -, xel?

'

x" , lx| < 1, k g R

~o n\

_{sinx =} y_THL^_łl

1

«=o (2w +l)

= ^x", |x| < 1

» Lii”    co fh.\

xgR cosx = ^^[~^x²\ xgR (l + x)^A = ^

(2«)

»=o V^w2

1 — x    ¹¹    1 + x „₌₀

.2/7+1    oo _ 2 w

^ (-l)ⁿ x” , |x| < 1    ln(l + x)=    ------ x”^+I , -1 < x < 1

«=o ^w + i

s/nc = ^ t-t- , x g R chx = f * ^ , x g R arctgx = V^-x^2/i+1 , -1 < x < 1

S(2w + 1)    a(2»)'    * a 2/1 + 1

arcsm x

Z

x

2«+l

, X < 1

TT

arcctgx = — — arctgx arccos x - n ~ arcsm x

^(2« + 2)!(2« + 3)

Powyższe rozwinięcia są dla x₀ = O. Jeżeli x₀ O, to rozwijamy w szereg funkcję g(x) = f(x + x₀) w punkcie x₀ = O korzystając z powyższych szeregów. Jeżeli np. /(x) = e^3x, to w szeregu dla e^x w miejsce x wstawiamy

3x. Aby mieć rozwinięcie funkcji np. f(x) — —, przekształcamy ją do postaci f(x) = — —-— i w

x + 2    2 x

- + 1 2

1

rozwinięciu funkcji ~— ^w miejsce x wstawiamy ^X-. Szereg występujący w rozwinięciu funkcji (l + xf

Z