Obraz8 3

138

P(4<X <16) = ?

4-10

<U<

16-10

F(12,64) = O

2 2 = 0,99865-0,00135=0,9973,

^f 12,64 -10^1

= 0(3)-<D(-3) =

P{X > 14,54) = 1 - P(X < 14,54) = 1-0

= 0(1,32) = 0,90658, ^ 14,54-10

= 1 - 0(2,27) = 1 - 0,9884 = 0,0116.

43. Dwuwymiarowa zmienna losowa skokowa

Uporządkowaną parę (X, F) zmiennych losowych X i Y nazywamy zmienną losową dwuwymiarową, jeżeli równoczesnemu zajściu zdarzenia X<x i Y<y odpowiada prawdopodobieństwo P(X < x, F<y).

Jeżeli zmienne losowe X i Y są zmiennymi losowymi skokowymi, gdzie W_x= {x_ux₂,    W_y={y_uy₂,...,y„}, to parę (X, Y) nazywamy dwuwymiaro

wą zmienną losową skokową. Każdej parze wartości (x_i>y_k) (i = 1, 2,n\ k= 1,2.....m) odpowiada prawdopodobieństwo:

Pik = ^p(^x =^xn^Y = y_k )•    (435)

>j    n m

Przypomnijmy, że jeśli p_ik =1, to powyższy wzór określa funkcję praw-

»    (=1 k=1

dopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej skokowej. Jej dystrybuantę definiujemy w następujący sposób:

£?/*•    (⁴-³6)

^xi<^xyk <y

Brzegową funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X (niezależnie od tego, jaką wartość przyjmie zmienna Y) zapiszemy:

P(X=x_i) = p_i, dla i = l, 2,..., n,    (4.37)

natomiast brzegową funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y zapiszemy:

P(Y = y_k) = p._k,

dla k = 1, 2,..., m.

(4.38)

Odpowiednikiem wartości oczekiwanej zmiennej losowej jednowymiai" i jest dla dwuwymiarowej zmiennej losowej skokowej (X, Y) wektor: m = m_in \ którego składowe m₁₀ i m₀1 są momentami zwykłymi rzędu pierwszego dwu-- ■ miarowej zmiennej losowej (X, Y), czyli wartościami oczekiwanymi odpnwi. .1 nio X i Y, zatem m₁₀= E(X) i moi = E(Y).

Momentami rzędu drugiego dwuwymiarowej zmiennej losowej skol n ', , (X, Y) są wartości m₂o = E(X²), mo₂-E(Y²\ m_n = E(XY). Jeżeli zmienne ,V 1 I 1 zmiennymi losowymi niezależnymi, to moment zwykły mieszany /■'( V t 1 = E(X)E(Y).

Momenty centralne rzędu drugiego można określić w następujący spo%< il>

Macierz:

— D (X) — /n20 (^10) »	M 02 =
•^11 ^=mn “	^m\0^m0
M jn M= ^20	Mn
[Mn	M Q2

( I In

jest macierzą kowariancji. Znając wartości jej elementów, możemy nil wartość współczynnika korelacji:

—    -    .    \ 1    1 «

yM 20 M 02

Jeżeli p = 0, to mówimy, że zmienne X i Y są nieskorelowane. W pi/yp-n przeciwnym, gdy p & 0, mówimy o skorelowaniu zmiennych.

Rozkłady warunkowe zmiennych losowych skokowych

Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa X przyjmie wartośń > 1 ■ warunku, że zmienna losowa Y przyjęła wartość y_k, zapiszemy:

< I I '1

_P{X=Xl\y _{= yk)}-_lYL^lA-^

P(Y = y_k) p.k

Jest to warunkowa funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, p<».l • runkiem że zmienna losowa Y przyjęła wartość y_k (k = 1, 2,m). Zan w i.mm*

że: £(X =_Xi\Y = y_k) = l.

i=i