Picture4

ll) A V V © y' (’ A X¹ ®.Y    (’

y*r

v' c; V =>    (x'_rx'₂)

x®x' = (x_l +x[,x₂ + .Yj + 2) = (0,-2) = e

'z

x_t + jrf = O a jy, + x\ + 2 = -2

Z

x\ = —JCj A x'-y — -x₂ - 4 .

/ulem dla każdego elementu x e V można wyznaczyć element przeciwny:

X' “ (-*|, ~X₂ ~ 4).

Sprawdzone warunki a, b, c, d dowodzą, że (V, ©)jest grupą przemienną.

2° A A a * (x©y) = (a *x)©(a * y)

acR x_tjmV

L = a * (jy, +y_ux₂ + y₂ + 2) = (aOi +y,), a(x₂ +y₂ +2) + 2a-2)

P = (avi, ax₂ + 2a - 2) ® (ayi, ay₂ + 2a - 2) =

= (owi + ay\, ax₂ + 2a - 2 + ay₂ + 2a - 2 + 2)

L = P.

3° A A (a + P) * x = (a * x) © ((3 * x)

«,|)e R xeV

L = (a + p) * Oi, x₂) = ((a + PO,, (a + P)x₂ + 2(a + P) - 2)

P = (a * Oi, x₂)) © (p * (ją, x₂)) =

= (oui, ax₂ + 2a-2)© (Pxi, P*₂ +2p-2) =

= (oa-| + p*!, ax₂ + 2a - 2 + p.v₂ + 2P - 2 + 2)

L = P.

4° A A (a • P) * x = a * (P * x)

«,(!eR Jrel⁷

L = (a ■ P) * (x,, x₂) = ((a • POu (a • P)x₂ + 2(a • P) - 2)

P = a * (Px_b Px₂ + 2P - 2) = (a(p.Y|), a(Px₂ + 2p - 2) + 2a - 2)

L = P.

5° A 1 * x = Oi,x₂ + 2 -2) = (xi, x₂) = x.

.rei⁷

Zadania

11. Zbadać, czy podany zbiór z. określonym w nim działaniem wewnętrznym icst grupą:

0) (N, +.),    b) (N, •),    c) (C, +),

d) (R, +),    e) (R\{()}, •),    0(R., ),

g) (R², +), gdzie: x + y = (x_u jt₂) + Oó,^) = (*i +y\,x₂ + _Vi), li)    (R, ®),    gdzie: a ⁰ b = a + b + 3,

1)    (R, °),    gdzie: a ° b = a + b - 3,

j) (R\{ !},□), gdzie: a □ b = ab — a- b + 2,

k) (R\{2},d), gdzie: a □ b = ab - 2a - 2b + 6,

l)    (R\{-1},d), gdzie: od b = a + ab + b,

l)    (R\{-3},d), gdzie: aa b = ab + 3a + 3b + 6,

m)    (P(U), u),

n)    (P(U),n),

o)    (P(U), o), gdzie: X° Y=(X<j Y)\(Xn Y),

p)    (A, °),    gdzie: A = {f.f(x) = ax +    b\    a,    b e    R},    (g °f){x) = g(f(x)),

r)    (A, +),    gdzie: A = {a, h, c, d} \ działanie „+”    dane tabelką:

1° 2°

+	a	b	c	d		+	a	b	c	d
a	a	b	c	d		a	b	c	a	b
b	b	c	d	a	lub	b	c	d	b	a
c	c	d	a	b		c	a	b	c	d
d	d	a	b	c		d	a	b	d	d

s)    ((R\{0}) x (R\{0}), °), gdzie: (a, b) °(c,d) = (ac, bd),

t)    (A, o), gdzie: A =

fo(x) = x, f (x)=    f₂(x) = -x, fi(x) =--,

X    X

„°” - składanie przekształceń.

Sporządzić tabelkę działania wewnętrznego.

12. Zbadać, czy podany zbiór z określonymi w nim dwoma działaniami we wnętrznymi jest ciałem:

a)    (R, +, ),

b)    (R, °, □), gdzie:

aab = ab + ci + b, a □ b = ab + 3a +3b + 6,

1 °a°b = a + b+ 1,

2°a°b = a+b + 3,