0318

319

§ 2. Funkcje ciągłe

Zakłada się przy tym, że punkt M(x₁, x_2> ..., x„) należy do zbioru J(, w szczególności może się on pokrywać z M'. Właśnie dlatego, że granica funkcji w punkcie M' jest identyczna z wartością funkcji w tym punkcie, zwykłe żądanie w definicji granicy, by punkt M był różny od punktu M', jest tutaj zbyteczne.

Rozpatrując różnice x_t—xj, x₂—x'₂,    x„—x'„ jako przyrosty Ax\, ńx'₂ ..., Ax'_n

zmiennych niezależnych, a różnicę

/Ol , ^x2 > ••• . ^xn)~f(^x'l . ^x2 ,    > ^x'n)

jako przyrost funkcji, można powiedzieć, jak i w przypadku funkcji jednej zmiennej, że funkcja jest ciągła, jeśli nieskończenie małym przyrostom zmiennych niezależnych odpowiada nieskończenie mały przyrost funkcji.

Zdefiniowana wyżej ciągłość funkcji w punkcie M‘ jest ciągłością, że tak powiemy, względem całego zespołu zmiennych x₁₍ x₂, ..., x„. Jeśli ma ona miejsce, to jednocześnie zachodzą równości

lim /Oi, x'₂, ..., x'_n) =/(xj ,x'₂, ...,x'„),

Xl‘*x\

lim/(xj, x₂, xś, ..., x'_n)=f(xj, x₂, xś, ..., x'_n),

itp., tu bowiem realizują się tylko szczególne sposoby przybliżania się M do M'. Innymi słowy funkcja jest ciągła względem każdej zmiennej x_; z osobna, względem każdej pary zmiennych x_t, Xj, itd.

Z przykładami funkcji ciągłych stykaliśmy się już. W ustępie 167, 1) udowodniliśmy ciągłość funkcji wymiernej całkowitej i ułamkowej n argumentów we wszystkich punktach przestrzeni n-wymiarowej (dla funkcji ułamkowej - z wyjątkiem tych punktów, w których mianownik równa się 0). Tam również w 2) udowodniliśmy ciągłość funkcji potęgowo--wykładniczej x* we wszystkich punktach prawej półpłaszczyzny (x>0).

Jeśli rozpatrzymy znowu funkcję

f(x,y)=-^-ż    (dlax²+/>0)

x +y

określoną tym razem w całej płaszczyźnie oprócz początku układu i przyjmiemy dodatkowo/(O, 0)=0, to otrzymamy przykład nieciągłości. Występuje ona właśnie w początku układu współrzędnych, ponieważ [167, 4)] przy x-»0, y-*0 funkcja nie ma granicy.

Spotykamy się tu z interesującym zjawiskiem. Rozpatrywana funkcja/(x, y) chociaż nie jest ciągła w punkcie (0, 0) względem obu zmiennych jednocześnie, tym niemniej jest ciągła w tym punkcie zarówno względem x jak i względem y oddzielnie; wynika to z tego, że / (x, 0) =/ (0, y)=0. To co powiedzieliśmy tu przestanie nas zresztą dziwić, jeśli zdamy sobie tylko sprawę z tego, że mówiąc o ciągłości względem x i y z osobna, mamy na myśli dążenie do punktu (0, 0) tylko wzdłuż osi x lub osi y, pomijając nieskończony zbiór innych sposobów przybliżania się do tego punktu.

Jeśli dla funkcji /(Af) przy dążeniu M do M' w ogóle nie istnieje granica skończona

lim /(Af),