Picture7

Rys. 5.2. Przybliżony wykres wielomianu lV(x) 2x³ 3.v’

I iibeln 5./esliiwienie wyników dla przykładu 5.2a

Wynika z lego, że w punkcie .V| = jc₂ = 0 nie ma ekstremum, ponieważ w sąsiedztwie jc = 0 nie ma zmiany znaku pochodnej, natomiast w punkcie

3 .    |

*,    ^ jest minimum lokalne równe e ⁴ .

jest D = R. Obliczamy:

Ad b) Dziedziną f(x) = \[x^ e ^x

f\x)

= e

f 2    \

x³e-^x

s    z

2

+ x-V'(-l)

x² e~^x =

2    — 3jc

3    \[x

{0}.

Dziedziną pochodnej jest zbiór D' - R Rozwiązujemy ró\vnanie/’(.v) = 0: 2-3£

3yfx ’

2 - 3jc = 0,

2

x = —

3

oraz badamy znakf'(x) i wyniki zapisujemy w tabelce (tabela 5.4).

X	(-<». 0)	0	(«■!)	2 3	(H
/'(*)		♦	•f	0
/(A)	SI	0 minimum	71	i^; maksimum	SI

Zatem funkcja ma ekstremum w punkcie .V| -

2

—, czyli w punkcie, w którym

/'(a-o) = 0, a także w punkcie x₂ = O (/jest w tym punkcie ciągła), w którym I" punkcie pochodna nie istnieje, ale w jego sąsiedztwie zmienia znak. czyli -.pi l niony jest warunek wystarczający istnienia ekstremum.

/min =/(O) = 0, /,n;ix =/

Ad c) Dziedziną funkcji /.v) = 5a⁷ - 7.v⁵ jest D = R. Obliczamy:

/'(a-) = 35A^-6 - 35/ = 35a-⁴(*²- 1) = 35/ (x - 1 )(.v + I).

Rozwiązaniem równaniaf\x) = 0 są:

X, = A2 = 0,    X₃=l, Xą ~ —1.

Sprawdzamy, czy w tych punktach istnieje ekstremum, korzystając / twicrd/i ma 5.4. Obliczamy drugą pochodną:

f" = 210x⁵- 140x³

oraz wartości tej pochodnej dla X|, x₂, x₃:

f" (0) = 0,

/" (1) = 70 > 0,

/" (-1) = -350 < 0.

Na podstawie twierdzenia 5.4 stwierdzamy, że w punkcie x₃ = 1 istnieje mi nimurn, a w punkcie x₄ = —1 maksimum, który ch wartości są odpowiednio rów

»e /„„„ (1 ) = -2 i /max (-1) = 2.