Scan0013 3

>WI1Ui\ TIUI\IWnWł»T

b) Analogicznie jak w czyści a) zadania obliczamy kolejne pochodne cząstkowe

df__ 3Bx*    ćf    _ __ By    ęr _ _ p₂

^&    2U-V>-2_+z2]2    ’ ^    [r3_+y2₊*2]}    ’ ^&    t*3^2^2]T    '

Zatem otrzymujemy

grad/—^_T-—^-y*.

Ix3₊y2«2)2    [*3_+y2«2]'f

5. Wyznacz dywergencję wektora a , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora:

a) ~a *{xy,xyz,z/y)

b) 7 -(r²+y²?jc³+z²,z^3/2)

.. -> da- d°y Sa

*'^va -1*⁺-W ⁺

Dywergencją wektora 7 - \a_x{x,y,z), a_y{x,y.z), a_z(x,y,z)] nazywamy skaiar

cz

Ponieważ operator nabla

_v.fA J--2.1

cy’ cz\

traktujemy formalnie jako wektor, więc inaczej mówiąc, dywergencja wektora o to iloczyn skalamy wektora v i wektora a :

*•"«-[&* ⁺ iy7⁺&*]["** +a,7 + «**]-

a) Zgodnie z definicją dywergencji liczymy odpowiednie pochodne cząstkowe

“>•    CO:

~y> st~-

div7 =y+jcz +jr.

da,

Stąd otrzymujemy b) Analogicznie mamy

—-0 ^--2-/F dr    cy ^U’ uz 2^'

<i\v7 =‘2x*^Jz.

Zatem

6. Wyznacz rotację wektora n , którego współrzędne są następującymi funkcjami współrzędnych punktu zaczepienia wektora:

a)    a - (xy+zy.xz + z² +y,y -t-*²)

b)    1T " Ot³ +y³,x²y+z³x,y)

Rotacją wektora 7 - [a*(*.y,z).a_y(*,y,z),a_z(Ar,y,z)] nazywamy iloczyn wektorowy wektora nabla

[A JL£]

[ 0x >    ’ oz J

v

i wektora n i oznaczamy przez rot a .

Rotacją wektora można, podobnie jak iloczyn wektorowy dwóch wektorów, napisać w postaci wyznacznika: i j k

rota =“x a -

JL JL JL

5x ty Oz

a_x ay a_z

przy czym formalnie iloczyny elementów drugiego i trzeciego wiersza należy uważać za pochodne cząstkowe odpowiednich funkcji, np.

,,    5x cy *

&x dy

a) Obliczamy odpowiedni wyznacznik

rot a -

i

d_

cx

i

JL

ty

JL

oz

*>■)]*

xy + zy xz + z~ +y y+x‘

+ *[ J^+2²+y)-^C*>’+c)0]-

= il-x-2zji -*• [y - 2xj ~xk . b) Postępując analogicznie otrzymujemy

rot a =

i	k
e_	e
ty	Oz

JL ±

1%

x*+y³ x²y + z~x y

- [1 - 3z²x]7 + [2xy +■ z³ - 3y² jT.

7. Dwie cząstki zostały wysłane z początku układu współrzędnych i po pewnym czasie ich poło/.enia są opisane wektorami:

—y    —>—>—*    _>    —»    —>    —>

r I - 4 i +3/ + 8 £ oraz r ₂ - 2 * + 10 j +5 k.

Oblicz:

a)    długości wektorów,

b)    wektor przemieszczenia cząstki drugiej względem pierwszej r j₂,

c)    kąty między wszystkimi parami tych trzech wektorów,

d)    rzut wektora 72 na 7j,

e)    iloczyn wektorowy r \X. r ₂-

a) Zgodnie z definicją długości wektora: _

r, - 7i|-V4² +3²+$² -9.43 r₂-|7₂| - v'2² + 10²+5² - 11.36

9