skan0002

Instytut Automatyki Politechniki Łódzkiej - Laboratorium Metod Numerycznych

Ćwiczenie 4

Całkowanie numeryczne

Napisać m-funkcję obliczającą przybliżoną wartość całki oznaczonej (złożoną) metodą prostokątów (wariant punktu środkowego). Jako parametry wejściowe procedury przyjąć: nazwę m-funkcji obliczającej funkcję podcałkową, końce przedziału całkowania oraz ilość pod przedziałów, np.:

x + x

Obliczyć całkę: J- ^

Zdefiniowanie funkcji podcałkowej function [y]=cal(x)

% funkcja podcałkowa y=l./(x+x.^A3);

Wywołanie funkcji F='cal'

Obliczenie wartości całki (nazwa .m - m-funkcja obliczająca przybliżoną wartość całki oznaczonej (złożoną) metodą prostokątów, do obliczenia wartości funkcji należy użyć procedury f eval) w=nazwa(F,1,2,8)

Przetestować napisaną m-funkcję obliczając przybliżoną wartość wskazanych przez prowadzącego zajęcia całek oznaczonych. Skopiować dwukrotnie utworzony m-plik

1    zmodyfikować kopie tak by obliczały przybliżoną wartość całki metodą trapezów i metodą Simpsona.

Wykonać obliczenia przybliżonych wartości podanych przez prowadzącego całek testowych przyjmując ilość podprzedziałów równą 8, 16, 32, 64; obserwować błąd uzyskanych przvbliżeń:'.u-zuDełnić-oblic7enia o takie w którvch liczba podprzedziałów będzie nieparzysta (wartości nieparzyste między wskazanym i potęgam i l iczby 2)r Jeśl i błąd względny przekracza 0.1% dla wszystkich wykonanych obliczeń zwiększać w/g podanego schematu (tzn. potęgi liczby

2    i pośrednie wartości nieparzyste) liczbę podprzedziałów az do chwili, gdy błąd względny osiągnie wartości poniżej tego progu. J

Wyniki obliczeń przybliżonych wartości całki dla zadanego przedziału zestawić w postaci tabeli, dla wszystkich wymienionych wyżej metod.

Uzyskane wyniki umieścić na wspólnym wykresie na tle obliczonej dokładnej wartości całki. Zwrócić uwagę na szybkość zbieżności poszczególnych metod. Zastanowić się dla jakiego rodzaju funkcji można stosować określony typ kwadratur.

Sporządzić zestawienie tabelaryczne błędu względnego i bezwzględnego całki w zależności od liczby podprzedziałów i wybranej metody.

Wykorzystując m-plik ekstrap przeprowadzić ekstrapolację Richardsona wyników uzyskanych metodą trapezów, wykorzystując wartości całki obliczone przy kroku równym

8 16 32 64

*    '    ¹    * długości przedziału całkowania. Przeprowadzić tę samą ekstrapolację, tym razem

1

rozpoczynając od - długości przedziału całkowania i w każdym etapie redukując krok

8

trzykrotnie. Porównać otrzymane wyniki. Jeśli wzięte do obliczeń ekstrapolacyjnych wyniki są obarczone dużym błędem powtórzyć obliczenia z krokiem początkowym zapewniającym błąd względny poniżej 0,1%.

2.