Untitled Scanned 06

43

IV. Aksjomaty alternatywy

9.	p->pv q	Prawo addycji
10.	q-*pv q	Drugie prawo addycji
11.	(P - r) - [(q ->r)-+(p v q-> r)J	Prawo dodawania poprzedników
V.	A ksjomaty równ o ważności
12.	(p*-*q)-*(p-* q)
13.	(p<->q)->(q-> p)
14.	(p -* q) -> l(q p) — ip —■ qj]

Dalsze prawa rachunku zdań wyprowadza się z powyższych aksjomatów przez stosowanie reguł podstawiania i odrywania, które przytaczamy tutaj

jeszcze raz:

(A)-*(!))

A    A

S(B.p~A)    B

Wszystkie formuły wyprowadzalne za pomocą tych dwóch reguł z aksjomatów 1 14, a także same te aksjomaty, będziemy nazywać tezami aks-jomatycznego systemu rachunku zdań.

Przykładem tezy nie będącej aksjomatem jest m.in. formuła

15.    (q -► r) -> [(p -> q) -* (p -> r)] ,

będąca pewną odmianą prawa sylogizmu hipotetycznego. Oto odpowiednie wyprowadzenie tej tezy z aksjomatów, czyli jak to będziemy mówili najczęściej - dowód tej tezy w oparciu o przyjęte aksjomaty.

(1)

(2)    /)-»(*-> P)

(3)    [(p -* (ą - r)) -»{(p -*q)->(p-> r))] ->

-> [s -> [ip - [q -* r)) -» ((p -»q) -*(p~* r))]]

(4)    [P (q -*■ r)] -»l(p -*<•/)->(/)-* r)]

(5)    s - [(p -► (q -► r)) -> [(/> ->q)->(p-> r)] ]

(6)    [q -♦ r) -»lip -+(q-> r)) -> [(/>-*<?)-* (p r)j]

(7)    {q-*r)~* [s -*iq-> r)]