Untitled Scanned 37

101

12.    Aksjomat wyboru

Af[Z(x) a /\{y e x —* Z(y) a \/(z g y)) a

x    y    z

a /\A(}' e x a w 6 x y = w v -\\J(i? e y a u 6 u))] -*

y u    v

-* V {z (w) A A [>■' ^e * ~* \/ (z G y A Z G W A /\(v G y A V e W -*

wy    z    v

- 0 = z))]}}

Treść aksjomatu wyboru jest następująca: dla każdej rodziny zbiorów nicpustych i rozłącznych istnieje zbiór, w którym każdy zbiór należący do owej rodziny posiada dokładnie jednego przedstawiciela. Ściślej: dla każdej rodziny zbiorów nicpustych i parami rozłącznych istnieje zbiór mający z każdym ze zbiorów owej rodziny dokładnie jeden wspólny element.

13.    Aksjomat nieskończoności

V{Z(x) a \J[Z(y) a-i\J{z g y) a y G x] a

x    y    z

A /\[y e X -> AC Z(z) A A (u e z u = y) -* z E x]])

>•    z    u

Używając symbolu 0 dla oznaczenia zbioru pustego oraz symbolu {y} dla oznaczenia zbioru, którego jedynym elementem jest y, aksjomat ten można zapisać następująco:

V [Z(x) A (J) G X A Aó' G X — {y} G x)] .

x    y

A więc, istnieje taki zbiór, którego elementami są m. in. wszystkie wyrazy następującego ciągu nieskończonego: 0, {0}, {{0}}, {{{0}}), ...

System teorii mnogości oparty na powyższych aksjomatach Zermela jest dedukcyjnie bardzo mocny. Mieści on w sobie w zasadzie całość klasycznej matematyki. W latach dwudziestych bieżącego stulecia został on jeszcze wzmocniony przez dodanie pewnych dalszych aksjomatów, zaproponowanych przez A. Fraenkla i T. Skolcma. Równocześnie został on zmodyfikowany w ten sposób, aby nic było w nim w ogóle mowy o przedmiotach nie będących zbiorami: istnienie takich przedmiotów jest bowiem zupełnie obojętne /. punktu widzenia potrzeb czystej matematyki (chociaż nic jest obojętne dla zastosowań teorii mnogości w naukach empirycznych). Przy okazji warto jeszcze zaznaczyć, że w ciągu paru ostatnich dziesięcioleci powstał cały szereg systemów aksjomatycznych teorii mnogości różniących się w istotny sposób od systemu Zermela i od wspomnianego wyżej systemu Russella.