Untitled Scanned 43

107

19.    Aksjomat piątego odcinka

0(x, y, x\ y') a 0{y, z, y\ z') a 0(x. u, x\ u) a 0{y. u, /, u') a

a M (jc , y, 2) a M (x\ y', z) a n(x = y) -> O (z. u, z, u').

20.    Aksjomat konstrukcji odcinka

\J[M(x, y. z) a 0(y, z, u, 1;)] .

z

21.    Aksjomat niższego wymiaru

V W (^x* ^z) ^A (>’. ²- ^x) ^A i-M(z, x. y)] .

x y z

22.    Aksjomat wyższego wymiaru

0(x, u, x. t;) a 0(y, u, y, t?) a 0(z, u, z, v) a n(w = v) -»

-» A/(x, y. z) v A/(y_f z, x) v M (z, x, y).

23.    Aksjomat ciągłości

VA/\M (*)^A R(y) -* ^M (^z- -*• 3')] -> V A A l^A (*)^A B(y) — ^M (*»^u* >')] •

: * y    u .x y

Ta ostatnia formuła to oczywiście schemat nieskończenie wielu aksjomatów. A (x) należy tutaj zastąpić przez dowolną formułę zdaniową, w której zmienne y, z. u nie są wolne, natomiast B(y) należy zastąpić przez dowolną formułę zdaniową, w której zmienne x, z, u nic są wolne.

W oparciu o powyższy układ aksjomatów można uzyskać wszystkie te wyniki z zakresu płaskiej geometrii Euklidesa, które dają się sformułować i udowodnić bez użycia jakichkolwiek środków tcoriomnogościowych. W szczególności można tu otrzymać wszystkie te twierdzenia geometryczne, które odnoszą się do różnych konkretnych klas figur geometrycznych (takich jak linie proste, okręgi, odcinki, wicloboki z dowolną ustaloną liczbą wierzchołków) oraz do pewnych relacji (takich jak np. przystawanie i podobieństwo) pomiędzy elementami owych klas.

§ 7. ZADANIA RACHUNKU PREDYKATÓW

Opisując powyżej różne teorie aksjomatycznc ograniczaliśmy się zawsze do opisania odpowiedniego języka i podania aksjomatów danej teorii. Nie mówiliśmy natomiast prawie nic na temat twierdzeń (nic będących aksjomatami) należących do owych teorii. Postępowanie takie było jednak w pełni usprawiedliwione tą okolicznością, że język i aksjomaty każdej teorii wyznaczają zbiór jej twierdzeń w sposób zupełnie jednoznaczny.