0004

WSTĘP

LICZBY RZECZYWISTE

§ 1. Liczby wymierne

1. Uwagi wstępne. Czytelnik zna dobrze ze szkoły liczby wymierne i ich własności. Już potrzeby matematyki elementarnej prowadzą do konieczności rozszerzenia tego zbioru liczb. Rzeczywiście, wśród liczb wymiernych nie zawsze istnieją pierwiastki z liczb naturalnych, np. s]2, tj. nie istnieje taka liczba wymierna plq (gdzie p i q są liczbami naturalnymi), której kwadrat byłby równy 2.

Dla dowodu przypuśćmy, że zachodzi własność przeciwna: istnieje taki ułamek p/q, że (p/q)²=2. Mamy prawo założyć, że ułamek ten jest nieskracalny, tj. że p i q nie mają wspólnych dzielników. Ponieważ p²=2q², więc p jest liczbą parzystą: p=2r(r - liczbą całkowita), a zatem q jest liczbą nieparzystą. Zastępując p przez 2r, otrzymujemy, że q²=2r², skąd wynika, że q jest liczbą parzystą. Dojście do sprzeczności potwierdza słuszność naszego twierdzenia.

Zauważmy również, że gdybyśmy rozważali tylko liczby wymierne, to w geometrii istniałyby odcinki nie mające długości. Rzeczywiście, rozważmy kwadrat o boku jednostkowym. Przekątna tego kwadratu nie może mieć długości wymiernej pjq, bo w przeciwnym przypadku, na podstawie twierdzenia Pitagorasa, kwadrat tej długości byłby równy 2, co, jak widzieliśmy, jest niemożliwe.

Celem wstępu jest rozszerzenie zbioru liczb wymiernych, przez dołączenie do nich liczb nowego rodzaju — liczb niewymiernych. Jednocześnie pokażemy, że w rozszerzonym zbiorze pozostają w mocy wszystkie zwykłe własności liczb wymiernych w zakresie działań arytmetycznych na tych liczbach oraz równości i porównywania tych liczb. Aby uczynić możliwym realne sprawdzenie wspomnianych własności w rozszerzonym zbiorze liczb, należy wydzielić najmniejszą ilość własności podstawowych, z których wszystkie pozostałe własności otrzymywano by jako wnioski formalno-logiczne; wówczas wystarcza sprawdzać tylko te własności podstawowe.

W związku z tym przytaczamy poniżej podstawowe własności zbioru liczb wymiernych. Kolejno pokazujemy na kilku przykładach, jak można z podstawowych własności wyprowadzić zupełnie formalnie pozostałe znane własności. Mówiąc o „liczbach”, mamy tu zawsze na uwadze liczby wymierne, które oznaczamy literami: a, b, c itd.