0036

37

§ 1. Ciąg i jego granica

Tak więc, podaną tu definicję można sformułować dokładniej: Ciąg {x„} ma granicę 0, jeżeli wartości bezwzględne wyrazów ciągu stają się i pozostają mniejsze niż dowolnie mała z góry dana liczba e, poczynając od pewnego wskaźnika, Niekiedy, szczególnie w literaturze radzieckiej, pisze się, że x„ = o(l) i mówi, że ciąg (jc„} (zbieżny do zera) jest nieskończenie małą. Ten niezbyt udany termin (usprawiedliwiony historycznie) nie powinien mylić czytelnika — żaden z wyrazów ciągu, rozpatrywany osobno, a różny od zera, nie jest „mały”.

Jeżeli wrócimy do ogólnego przypadku ciiągu {x„} o granicy a, to różnice

*„=x_n-a

pomiędzy wyrazem ciągu a jego granicą dążą do zera: mamy bowiem na mocy (3;

k| = |^x»^-al^<e (dla n>N_c).

Odwrotnie, jeżeli a„~+0, to x„-»a. Prowadzi to nas do następującego twierdzenia: Na to, żeby ciąg {*„} miał granicę a, potrzeba i wystarcza, żeby różnica a„=x„—a miała granicę 0.

Jeżeli więc x_n->a, to ciąg {*„} możemy przedstawić w postaci

x„ = a+z_n,

gdzie a„->0, i odwrotnie, jeżeli ciąg {*„} ma takie przedstawienie, to jego granicą jest a. Fakt ten często wykorzystujemy w praktyce dla ustalenia granicy zmiennej.

25. Przykłady. 1) Rozważmy ciągi

1    1    (-1)’⁺¹

n    n    rt

o początkowych wyrazach

Wszystkie te trzy ciągi dążą do zera. Rzeczywiście, mamy tu

. « ¹

|*»|=—<«,

n

jeśli tylko «>l/e. Tak więc, jako N_e można np. obrać największą liczbę całkowitą mniejszą bądź równą l/«,tj. [1/e] (‘).

Zauważmy, że pierwszy ciąg ma wyrazy dodatnie, drugi — ujemne, a trzeci na przemian dodatnie i ujemne.

2) Jeżeli przyjąć

2+(-l)"

Xn=- »

n

(‘) Ogólnie przez [jr] oznaczamy największą liczbę całkowitą nie większą niż x. Liczbę [x] nazywamy częścią całkowitą liczby x. Stosuje się też oznaczenie E(jc). E jest początkową literą francuskiego słowa Entier, co znaczy — całkowity.