0113

114

II. Funkcje jednej zmiennej

§ 3. Klasyfikacja wielkości nieskończenie małych i nieskończenie dużych

60. Porównywanie nieskończenie małych. Załóżmy, że w jakimś badaniu rozważamy jednocześnie kilka wielkości nieskończenie małych:

a,p,y, ... ,

które, mówiąc ogólnie, są funkcjami tej samej zmiennej, np. x, dążącej do skończonej lub nieskończonej granicy a.

W wielu przypadkach interesujące jest porównanie wskazanych nieskończenie małych według charakteru dążenia do zera. Za podstawę porównania dwóch nieskończenie małych, a i /?, przyjmuje się zachowanie ich ilorazu ('). W tym celu ustalimy dwa określenia:

I.    Jeżeli iloraz Plot. (a wraz z nim a//?) ma granicę skończoną, różną od zera, to nieskończenie małe a i P mają ten sam rząd.

II.    Jeżeli iloraz P/a jest sam nieskończenie mały (a iloraz a//? jest nieskończenie duży), to nieskończenie małą P nazywamy wielkością wyższego rzędu niż nieskończenie mała a, i jednocześnie nieskończenie mała a jest wielkością niższego rzędu niż nieskończenie mała /?, co zapisujemy p-o(a).

Na przykład, jeżeli a = x->0, to ten sam rząd co wspomniana nieskończenie mała mają nieskończenie małe

sin x , tg x ,    ^/l +x — 1 ,

bowiem, jak wiemy [54, 7); 56, 3)]:

yj'U-X- 1_ 1

x    m

sin x

lim----= 1 łim

x -* 0 X    x —* 0

Natomiast nieskończenie małe (i)

-i —

tg x—sin x

są oczywiście wyższego rzędu niż x [56, 4, 5), (a) i (b)].

Może się oczywiście zdarzyć, że iloraz dwóch nieskończenie małych nie dąży do żadnej granicy; jeżeli np. obierzemy (por. ustęp 54, 9) i 10))

1

a=x i /?=-rsin —,

X

1

to ich iloraz, równy sin -, nie ma granicy, gdy x-»0. W takim przypadku mówimy, że nieskończenie małe a i fi są nieporównywalne.

Mamy też np.

1—cosx = o(x),    tgx — sinx = o(x) itp.

Tak więc symbol o(a) służy za ogólne oznaczenie nieskończenie małej wyższego rzędu niż a. Będziemy dalej posługiwali się tym wygodnym oznaczeniem.

(‘) Zakładać będziemy, że mianownik nie równa się zeru co najmniej dla wartości x dostatecznie bliskich a.