013

13

1.1. Aksjomaty prawdopodobieństwa

Występująca w powyższym wzorze suma może być skończona lub nieskończona.

1.1.2. Aksjomaty Kołmogorowa

Podana niżej definicja prawdopodobieństwa, zwana aksjomatyczną definicją prawdopodobieństwa, pochodzi od A. N. Kołmogorowa. Była opublikowana w 1933 roku¹ i stała się podstawą współczesnej teorii prawdopodobieństwa. Definicja. (Aksjomaty Kołmogorowa)

Definicja

prawdopodo

bieństwa

Zdarzenia

wykluczające

Prawdopodo

bieństwo

zdarzenia

przeciwnego

Jeżeli £1 jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, a y jest d-algebrą zdarzeń, to prawdopodobieństwem nazywamy funkcję Pr: y —E, czyli funkcję przypisującą zdarzeniom liczby rzeczywiste taką, że

(i)    dla każdego Agy

OsCPr(A)s:i,    (1.1.1)

(ii)

Pr(Q) = l,    (1.1.2)

(iii)    jeżeli dla dowolnych i -f- j jest A_J-fiAj = 0, to

^Pr(lK') = E^Pr(^A/)-    o-i-3)

Jeżeli AflB = 0, to mówimy, że A i B wykluczają się (są rozłączne). Warunek (1.1.3) oznacza, że dla ciągu parami wykluczających się zdarzeń, prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw.

Uwaga. Dla iloczynów zdarzeń nie ma podobnej własności odpowiadającej wzorowi (1.1.3), tzn. na ogół Pr (HA,) =ż nP^r(^A;)-

Z aksjomatów Kołmogorowa wynikają dalsze własności prawdopodobieństwa. Twierdzenie 1.1.1.

Jeżeli Asy, to Pr(A) = 1 — Pr(A).

Dowód. Ponieważ AnA = 0 i AUA = £2, to z równości (1.1.2) i (1.1.3) wynika, że Pr(£2) = Pr(A) +Pr(A) = 1, czyli Pr(A) = 1 -Pr(A).    □

Podobnie dowodzi się następującego wyniku.

'Andriej Nikołajewicz Kotmogorow (1903 - 1987), matematyk rosyjski, miat wtedy zaledwie 30 lat!