0217

218

III. Pochodne i różniczki

Ten ostatni wyodrębnia tylko jeden człon główny z nieskończenie małego przyrostu funkcji Af(x₀), jeśli rozpatrywać jak zawsze Ax jako wielkość nieskończenie małą podstawową, tymczasem we wzorze (lOb) napisane są wyrazy wszystkich rzędów do n włącznie, przy czym wszystkie one są najprostszymi nieskończenie małymi w sensie definicji podanej w ustępie 63. Przyrost funkcji został w ten sposób z dokładnością do reszty rozwinięty według potęg przyrostu zmiennej niezależnej.

Gdy przypomnimy sobie wreszcie, że

f'(x₀)Ax = df(x₀),    f"(x₀)Ax² = d²f(x₀)..... fⁱⁿ\x₀)Ax" = dⁿf(x₀),

możemy wzór (lOb) napisać w postaci

Af(x₀) = df(x₀)+~d²f(xo) + ...+-¹-- d"f(x₀) + o(Axⁿ).

2!    ni

Wynika stąd, że (przy Ax~¹0) kolejne różniczki są z dokładnością do silni w mianowniku najprostszymi wyrazami nieskończenie małymi odpowiednich rzędów w rozwinięciu nieskończenie małego przyrostu funkcji.

125. Przykłady. Najprostszą postać ma wzór Taylora, gdy x_o=0(¹):

(H)

Można zawsze sprowadzić wzór Taylora do tego przypadku szczególnego przyjmując jc—x₀ za nową zmienną niezależną.

Jako przykład rozpatrzymy niektóre konkretne rozwinięcia funkcji elementarnych według tego wzoru.

1)    Niech /(x)=e^x; wtedy f^(k)(x) = e^x dla każdego k = 1, 2,... Ponieważ w tym wypadku /(0) = l,/⁽¹⁾(0)= 1, więc zgodnie ze wzorem (11) mamy

e¹=l+^,+ ^ + -+

1:2!    ni

2)    Jeśli/(x) = sin x, to/^(ł)(^) = sin (x + fc-$n), a więc

/(0) = 0,    /^(2m)(0) = sinmjr = 0,

y(2m-l)(0)__sin(_m7I_^_Jt)_(_ l)m-i    (_m=l₎₂,    ...).

Biorąc więc we wzorze (11) n = 2m otrzymujemy

„3    5    2m-l

+ o(x^2m),

sin x = x — — + — -...+(-l)^m_1 —-

3!    5!    (2m — 1)!

1

Również i ten wzór wiąże się z nazwiskiem Maclaurina (patrz notka na str. 215).