0219

220

III. Pochodne i różniczki

Tutaj [116, 3)]:

(1 + x)^K

/(0)=0, /^w(0)=(-l)ⁱ-¹(fc-l)!-

Stąd

ln(l+x)=x-^-+^—...+(—1)" ¹ —(-o(xⁿ). 2    3    n

6) Niech teraz /(x) = arc tg x. W ustępie 118, 4) obliczyliśmy wartości pochodnych tej funkcji w punkcie x=0

f^i2m\0)=0 ,    f^(2m~ ^1}(0)=(- ly-¹ (2m - 2)!,

stąd jej rozwinięcie ma postać

_x3 ^5    ^2m-l

arctgx=x—- + — —    —l)^m_1 -- +o(x^2m).

3    5    2m —1

7) Dla funkcji /(x)=tgx prawo tworzenia współczynników we wzorze Taylora jest skomplikowane. Tym niemniej napisanie kilku pierwszych wyrazów rozwinięcia nie sprawia trudności. Tak na przykład

1    „    sinx    , l+2sin²x

/'(*) = —t~,    / (x)=2 —3—,    /'"(*) = 2-i-

COS X    cos X    COS X

/(x) = 8sinx

2 + sin² x cos⁵x

stąd

/(0)=0, /'(0)=1, /"(0)=0, /"'(0)=2, /^,v(0)=0,

mamy więc

A    A

tgX = X + y+0(X ) .

Korzystając ze znanych rozwinięć można otrzymać rozwinięcia bardziej skomplikowanych funkcji nie obliczając już pochodnych. Poprzedni wzór na przykład można otrzymać z rozwinięć funkcji sin x i cos x. Przytoczymy nowe przykłady; będziemy przy tym wszystkie potęgi x do pewnej z góry zadanej włącznie obliczali dokładnie, a wyższe potęgi będziemy od razu (nie wypisując ich) włączali do reszty. 8) Napisać rozwinięcie funkcji e’^,nx do wyrazów z x³. Na mocy 1):

e^,l“*=l +sinx+isin²x + - sin³x+c>(x³)(²);

ale z 2)

sinx=x— i*³ +o(x*),

0) 0! oznacza jak zawszeni.

(²) Należałoby pisać o(sin³ x), ale z powodu równoważności nieskończenie małych x i sin x jest to to samo co o(x³).