0201

202

III. Pochodne i różniczki

116. Wzory ogólne na pochodne dowolnego rzędu. Tak więc na to, żeby obliczyć pochodną rzędu n jakiejś funkcji, potrzeba, mówiąc ogólnie, obliczyć najpierw pochodne wszystkich poprzednich rzędów. Jednak w wielu wypadkach udaje się wyprowadzić takie wyrażenie ogólne dla pochodnej rzędu n, które zależy bezpośrednio od n i nie zawiera już oznaczeń poprzednich pochodnych.

Przy wyprowadzeniu takich wzorów ogólnych korzystamy niekiedy ze wzorów (cu)^M=cu⁽ⁿ⁾,    (u±t>) ^w= u^w± v ^M,

uogólniających na przypadek wyższych pochodnych znane czytelnikowi reguły I i II z ustępu 97. Łatwo otrzymać je przez kolejne zastosowanie tych reguł.

1) Rozpatrzmy na wstępie funkcję potęgową y=x^<1, gdzie fi jest dowolną liczbą rzeczywistą. Otrzymujemy kolejno

y'=fLx»-\    l)x>~²,    y'"=n(n-l)(n-2)x'‘-³,    ...

Łatwo stąd zauważyć ogólne prawo

które jednak, ściśle mówiąc, powinno być jeszcze udowodnione. Skorzystamy w tym celu z metody indukcji matematycznej. Zakładając, że wzór ten zachodzi dla pewnej wartości n, zróżniczkujemy go jeszcze raz. W rezultacie otrzymujemy

[y-)]'=/»+1)(jt -1). ,_<0l _ n +1) O"-"]'=n (fi -1) ...{fi - n +1) (J1 - n) x^^n+X), tak że wzór nasz zachodzi dla pochodnej rzędu n + 1, jeśli zachodził dla n-tej. Wynika stąd, że jest on słuszny dla wszystkich n naturalnych.

Jeśli wziąć na przykład fi= — l, to otrzymamy a dla fi=—$ jest

(±V-(-L\(-³\    -ł-n (-D”(2n-1)!! C)

\^x) V 2 A 2 / \    2 )^X (2x)V*

itp.

Kiedy samo fi jest liczbą naturalną m, to pochodna rzędu m od / będzie już liczbą stałą ml, a wszystkie następne zerami. Jasne jest stąd, że i dla wielomianu stopnia m o potęgach naturalnych jest analogicznie.

2) Dla nieco ogólniejszego wyrażenia

y—(a + bxY (a,b=const)

I¹) Symbol nV. oznacza iloczyn liczb naturalnych nie większych od n i tej samej parzystości co n, więc na przykład

7 !!=1 -3-5-7 ,    10 !!=2-4-6-8-10 .