0257

258

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Trywialnym przykładem wypukłej (i jednocześnie wklęsłej) funkcji jest funkcja liniowa /(*) = = ax+b; dla niej zależność (1) jest zawsze spełniona ze znakiem równości. Wypukłą funkcją jest również funkcja f(x) = x², co łatwo sprawdzić bezpośrednio z definicji

(.gi Xi + <72 x₂f = q\ x\ + q\x\ + 2q_l q₂ x₂ =

= <?i(l ~qi)x\ + 9₂(1 -qi)x\+2q_l q₂x_Ix₂=q_i x\ + q₂ x\-q, q₂(x₁-x₂)²<q₁ x\ + q₂x\,

jeśli <71, <72>0, <?i+<?2 = l- Inne przykłady funkcji wypukłych znajdzie czytelnik niżej.

142. Najprostsze twierdzenia o funkcjach wypukłych.

1° Iloczyn funkcji wypukłej przez stałą dodatnią jest funkcją wypukłą.

2° Suma dwóch lub kilku funkcji wypukłych jest także funkcją wypukłą.

W obu wypadkach dowód wynika od razu z definicji.

Uwaga. Iloczyn dwóch funkcji wypukłych może nie być funkcją wypukłą. Przykład na to będzie podany niżej (w odsyłaczu na str. 262).

3° Jeśli ę(u) jest funkcją wypukłą i przy tym rosnącą, a u=f(x) jest także funkcją wypukłą, to ę(f (x)) jest funkcją wypukłą.

Rzeczywiście, wskutek wypukłości/(patrz (1)) i wskutek tego, że ę? jest funkcją rosnącą, otrzymujemy

<P (/(«1 x t + q₂ x₂)) V {q 1 /Oi) + q₂ /(* 2)),

wskutek zaś wypukłości ę to ostatnie wyrażenie nie przewyższa q_x <p(f(x_l))+q₂ <p(f (x₂)), a więc ostatecznie otrzymujemy nierówność

<P (f(<ł 1 x 1 + q₂ x₂)) < q i ę (f(x _x)) + q₂ <p (f(x₂)),

która jest właśnie zależnością (1) dla funkcji ę(f(x)).

Proponujemy czytelnikowi udowodnić analogiczne twierdzenia zawarte w tablicy

p(«)	u=f{x)	?>(/(*))
wypukła malejąca	wklęsła	wypukła
wklęsła rosnąca	wklęsła	wklęsła
wklęsła malejąca	wypukła	wklęsła

4° Jeśli y=f{x) i x=g(y) są jednoznacznymi funkcjami wzajemnie odwrotnymi w odpowiednich przedziałach, to jednocześnie jest

f(x)	000
wypukła rosnąca	wklęsła rosnąca
wypukła malejąca	wypukła malejąca
wklęsła malejąca	wklęsła malejąca

Zechciejmy na przykład w pierwszym wierszu z założenia o funkcji / wyciągnąć wniosek o funkcji g. Przyjmijmy

f(xi) = y_x,    f(x₂) = y₂, a więc x₁=g(y₁),    x₂ = g(y₂).