0271

272

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Powracając do zagadnienia konstrukcji wykresu dodamy teraz do tego, cośmy powiedzieli w poprzednim ustępie w punktach 1°, 2°, 3°, że trzeba jeszcze

4° wyznaczyć wartości x, dla których funkcja y=f(x) jest nieskończona (uwzględniając znak) i zbudować odpowiednie asymptoty pionowe;

5° znaleźć poziomą lub pochyłą asymptotę wykresu, przy tym oddzielnie dla x-* + oo i dla x-* — oo, jeśli przedział jest nieskończony w obydwie strony.

Przejdźmy znowu do przykładów.

149. Przykłady.

3) Wróćmy do funkcji

y=(x+2)^J(;c-l)³,

dla której szukaliśmy już ekstremów w ustępie 136, 1). Funkcja ta jest ciągła dla — oo<jr< +oo. Gdy jc-> ± oo, nie tylko y, ale i y/x dąży do oo, tak że asymptot nie ma.

Rozpatrzmy dodatkowo drugą pochodną

y"=2 U -1) (1 Ojc¹ -i-16x +1).

Jest ona równa O dla x=l; —0,07; —1,53 i zmienia przy tym znak (przegięcie). Układamy tablicę:

jc= —2	-1,53	-0,8	-0,07	0	1
y = 0	-3,58	-8,40	-4,56	-4	0
y=o maksimum	przegięcie	y=o minimum	przegięcie		/=0 przegięcie

2/3    / 2    i\l/3

y=x ~(x -1)

Wykres podaliśmy już na rysunku 57.

4) Niech

(patrz ustęp 136, 3)). Funkcja ta jest ciągła w przedziale (—oo, +co). Przedstawiając ją w postaci

1

^y=x^t,3+x^{2 3}(x²-l)‘^/i+(x*-l)^2,i'

możemy łatwo stwierdzić, że y-*0, gdy x~» ± oo, tak że wykres naszej funkcji ma jako asymptotę oś x (zarówno w prawo jak i w lewo). Druga pochodna y" nie ma pierwiastków; przegięcia będą tylko w tych punktach, gdzie y' staje się nieskończone. Wskutek parzystości funkcji wykres będzie symetryczny względem osi y.

Tablica:

x= —oo	-1	^ ! ©	0	0,71	1	+ 00
y=0	1	1,59	1	1,59	1	0
	/= +co	y=o maksimum	y* = + oo minimum	y=o maksimum	y' = — CO

Wykres jest przedstawiony na rysunku 59.

_v    x²—5jc+6

5) y—-5—;— (patrz ustęp 137).

je +1