0277

0277



278


IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że tu także i stosunek pochodnych był znowu wyrażeniem nieoznaczonym typu 0/0, ale okazało się, że tę nieoznaczoność udało się obliczyć za pomocą przekształceń elementarnych. W innych wypadkach może się okazać, że twierdzenie trzeba zastosować powtórnie. Podkreślamy, że dozwolone są przy tym wszelkie uproszczenia otrzymanych wyrażeń; skracanie przez wspólne czynniki, wykorzystanie znanych nam już granic itp. (Tego wszystkiego nie wolno było robić, gdy stosowaliśmy twierdzenie 2!). W następnym przykładzie twierdzenie 3 stosuje się trzykrotnie; po pierwszym różniczkowaniu skracamy przez ex, a po drugim odrzucamy czynnik e* w mianowniku (ponieważ dąży on do 1). Upraszcza to obliczenia.

lim

X-*0


2xe2x+e2x++ex-4e2x+2ex 3(e'-l)2e*


xe2 +xe —2e2 +2e Przykład 5. lim---5-

i-o    (e -1)

= lim

x-»0


2xćx 3e*+3+jt 3(e*-.l)J


1

— lim 3 i-o


2xex+2ex—2ex+l

2(ex-l)ex


lim

I-O


-ex+2xex+\

(ex-i)ex


1

=— lim 6 i-o


2xex + e


1

6"


lim

1-0


x—(1 +x)ln(l +x) x2(l +x)


Przykład 6.


(1 +x)llx—e

X


lim (1 +x)tlx

x-*0


Ponieważ pierwszy czynnik z prawej strony dąży do e, więc wystarczy zająć się drugim czynnikiem. Stosując dwukrotnie twierdzenie 3 znajdziemy, że jego granica równa się —

Odpowiedź: —Je.

Twierdzenie 3 można łatwo rozszerzyć na przypadek, gdy argument x dąży do granicy nieskończonej: a= ±oo (tego, rzecz jesna, nie można zrobić w stosunku do twierdzeń 1 i 2).

Twierdzenie 3*. Niech: 1) ftmkcje f{x) i g(x) będą określone w przedziale (c, +oo), gdzie c>0, 2) lim f{x) = 0, lim g(x)=0, 3) istnieją w przedziale <c, + oo) pochodne skon-

X-* 00    X-* 00

czone f'(x) i g’(x), przy czym g'(x)=£0, wreszcie 4) istnieje granica {skończona lub nieskończona)

lim

x~* + oo


/'(*)

9\x)

Wtedy

lim

+ 00


/(*)

9(x)

Dowód. Przekształcimy zmienną x według wzoru x—l/t, t=l/x. Wtedy, jeśli x~* +oo, to 0, i na odwrót. Ze względu na 2) mamy

lim f(—)=0, lim g )=0,

(-+0 \t /    |->+0 \ t J

a na mocy 4):

lim

(- + 0

= K.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
282 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Istnieje na przykład granica x + sinx    
286 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Ponieważ w przypadkach I i II (III i IV) mamy do czynie
288 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 155. Reguła Newtona (metoda stycznej). Wróćmy do poprze
236 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Uwaga. Znaczenie twierdzenia 1 przewija się w badaniach
240 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 6) Przede wszystkim nierówność (3a) można rozszerzyć na
262 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 4) Druga pochodna funkcji jc (w tym samym przedziale)
286 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Ponieważ w przypadkach I i II (III i IV) mamy do czynie
282 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Istnieje na przykład granica x + sinx    
286 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych Ponieważ w przypadkach I i II (III i IV) mamy do czynie
288 IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych 155. Reguła Newtona (metoda stycznej). Wróćmy do poprze

więcej podobnych podstron