0279

280

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Wykażemy, że w tym wypadku można zastosować tę samą regułę de L’Hospitala. Następujące twierdzenie będzie po prostu modyfikacją twierdzenia 3.

Twierdzenie 4. Niech: 1) funkcje f(x) i g(x) będą określone w przedziale (a, by, 2) limf(x)= +oo, lim</(x) = +oo, 3) istnieją w przedziale (a,by pochodne skończone

x-*a    x-*a

f'(x) i g’(x), przy czym g'(x)^0, wreszcie 4) istnieje granica (skończona lub nieskończona)

Wtedy

lim

x-*a

lim

x-*a

/'(*)

g\x)

m

g(x)

= K. = K.

Dowód. Rozpatrzymy najpierw przypadek, gdy K jest skończone.

Ponieważ pochodna g’(x) jest różna od zera, zachowuje ona swój znak zgodnie z twierdzeniem Darboux [110] i funkcja g(x) zmienia się monotonicznie [132]. Z 2) wynika wówczas, że g’(x)<0 i gdy x maleje, g{x) dąży do +oo rosnąc monotonicznie. Można uważać, że zawsze g(x)>0.

Zadając dowolnie liczbę e>0 możemy na mocy warunku 4) znaleźć taką liczbę ą>0, że dla a<x<a+ą będzie

e.

f\x)

g'(x)

Wprowadźmy dla zwięzłości oznaczenie a+tj=x₀ i weźmy x między a i x₀. Do przedziału <x, x₀> zastosujemy wzór Cauchy’ego j¹)

f(x)~f(xo) _| /'(c) g(x)-g(x o) g'(c)’

gdzie x<c<x₀, a zatem

/(x)-/(xo) _k g(x)-g{x₀)    ²

Napiszemy teraz tożsamość (którą łatwo jest sprawdzić bezpośrednio)

f(x) _K^f(x₀)-Kg(x₀) ^ T g(x_onrf(x)-f(x₀) 1

g(x)    g(x) |_    9(x) J [s W - g(x₀)    J’

skąd

m_K		/(xo)-K0(xo)j ^
g(x)		g(x) I

/(x)-/(x₀) g{x)-g (x₀)

-i

(‘) Na tym polega istotna różnica między tym dowodem i dowodem twierdzenia 3: tu nie wolno stosować wzoru Cauchy’ego do przedziału (a, x>, ponieważ jakkolwiek określimy funkcje f(x) i g(x) w punkcie a, na mocy 2), nie otrzymamy funkcji ciągłych w tym punkcie.