0287

288

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

155. Reguła Newtona (metoda stycznej). Wróćmy do poprzednich założeń o funkcji f(x) [153]; szukany pierwiastek £ tej funkcji ma być izolowany w przedziale <a,ó>, a<(<b. Biorąc za punkt wyjścia jeden z końców tego przedziału, na przykład b, napiszemy wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange’a

(7) 0=m=f(b)+f'(b)(i-b)+if”(c)((-b)² («c<b).

Odrzucając resztę można napisać przybliżoną równość

skąd

Rb) +/'(*)«■~b)« 0, Rb)

f\b)

Otrzymujemy w ten sposób przybliżoną wartość pierwiastka £:

(8)

Jti = ó

>(*)'

Otrzymany wynik można zinterpretować geometrycznie. Rozpatrzmy styczną do krzywej y=f(x) w punkcie Af' o odciętej b. Równanie jej ma postać

y-Rb)=f'(b)-{x-b).

Podstawiając tu y = 0 znajdziemy odciętą punktu przecięcia T' stycznej z osią x. Pokrywa się ona dokładnie z (8).

W metodzie tej chodzi zatem o zastąpienie łuku krzywej MM' przez styczną do tej krzywej poprowadzoną przez jeden z jego końców (patrz rys. 82).

Reguła ta, nosząca nazwę reguły Newtona, nazywa się także metodą stycznej.

Powstaje pytanie, gdzie leży wartość x\ otrzymana na podstawie wzoru (8). Przecież ten sam rysunek 82 pokazuje, że punkt przecięcia stycznej z osią x może leżeć nawet poza rozpatrywanym przedziałem! Wykażemy, że jeśli wartość f(Jb) jest tego samego znaku co f"(x) (tzn. w przypadkach I i IV), x\ leży między £ i b.

Rzeczywiście, ponieważ f(b) i f'(b) są tego samego znaku, z (8) wynika bezpośrednio, że x\ <b. Z drugiej strony z (7) i (8) wynika, że

(9)

i-x’i =i-b+

Rb)

f'(b)

f'\c)

fib)

(Ć-Ó)².

Druga pochodna /"(*) ma jednak w rozpatrywanych wypadkach taki sam znak jak f'(x), a więc i<x\. Ostatecznie więc £<*', <b.

Analogicznie, jeśli za punkt wyjścia wziąć koniec a i poprowadzić styczną w końcu M (o odciętej a), to zamiast (8) otrzymamy jako wartość przybliżoną

(8*)

x't

Ru)

/'(«)■

O wartości obliczonej na podstawie tego wzoru można powiedzieć tak jak i wyżej, że jeśli wartość f la) jest tego samego znaku co i f\x) (tzn. w przypadkach II i III), to x\ leży między a i i.

W każdym z czterech możliwych przypadków wiadomo więc, który z końców gwarantuje nam otrzymanie przybliżenia pierwiastka według reguły Newtona. Kolejne stosowanie tego wzoru daje nam w przypadkach I i IV malejący ciąg wartości

b>x'i>x'₂> ...>x;>jr' _{+ 1}> ,