0293

19 4

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

wówczas, jak udowodniliśmy,

a<xi <ę<x\ < b-

Przy następnym kroku zastępujemy po prostu w tych wzorach a i b przez i jej:

(x'i-x_i)f(x₁)    Rx[)

X₂—Xi--, X 2=X.---

/«)-/(*i)    f'(x\)

Proces ten możemy kontynuować w nieskończoność. Mając dwie wartości przybliżone x„ i x'„, między którymi zawarty jest pierwiastek £, przechodzimy do następnej pary wartości przybliżonych za pomocą wzorów

(x'-x_n)f(x_n)    f(x'„)

*« + i⁼*»--,    X._{+ l} =x„--.

Drugi z tych wzorów jest identyczny z (10), natomiast pierwszy różni się istotnie od (5) tym, że punkt b jest zastąpiony tu przez punkt x'_n, coraz bliższy £. Jeśli nierówność (4) dla danego przypadku przepiszemy w postaci

x—a    b—a

j(x)--f{a)^> f(b)--j\a)

i przyjmiemy w niej a = x_n i x = x'„ to łatwo zauważyć, że wspomniane zastąpienie b przez x'„ sprzyja tylko szybszemu zbliżaniu się x„ do szukanego pierwiastka (geometrycznie jest to oczywiste).

W ten sposób w metodzie kombinowanej otrzymujemy jednocześnie przybliżone wartości pierwiastka z niedoborem i nadwyżką, które dążą do pierwiastka z różnych stron. W przypadkach I i IV x„ dąży do £ z lewej strony, zaś xZ — z prawej; w przypadkach II i III będzie oczywiście na odwrót. Wielkość \x'_n—x„] pozwala wnioskować bezpośrednio o dokładności osiągniętego przybliżenia — na tym polega wygoda metody kombinowanej.

Zastosowanie tej metody zilustrujemy na przykładach.

158. Przykłady i ćwiczenia. Będziemy tu korzystali tylko z metody kombinowanej.

1) Znaleźć trzy pierwiastki rzeczywiste równania

/(*)=2x³ — x² — 7x + 5=0

z dokładnością do 0,001.

Z grubsza narysowany wykres funkcji y=f(x) pomaga znaleźć przedziały, w których zawarte są te pierwiastki

-2<£,<-l,    0<£₂<1,    1 <£₃<2;

łatwo można to sprawdzić na podstawie zmiany znaku funkcji.

(a) W przedziale <—2, —1>:

f'(x)=6x² — 2x—7>0 ,    f"{x) — 1 2jc — 2<0

(przypadekIII). Ponieważ/(—2)= — 1 <0,/(—1) = 9>0, regułę Newtona należy zastosować do lewych końców przedziałów. Mamy /'(—2) = 21 i

-1    9

x; = -2--=-1,952...,    *, = -1--=-1,9.

21    9 —( —1)

Zaokrąglając wartość x\ w stronę wartości mniejszych, otrzymamy liczbę — l,96<£i. Jeśli zaokrąglimy natomiast w stronę wartości większych, tzn. w stronę pierwiastka, otrzymamy liczbę —1,95, ale /(—1,95)=0,01775>0, tzn. w tym wypadku przekroczyliśmy pierwiastek. Jest to dla nas korzystne,