0407

408

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

Tym samym

8F	8F
8xx	8x„
--dXi
8F ^1	~~8F

8y    8y

Jednocześnie

8y    dy

dy = — dx_x + ...+—-dx_n. ox₁    8x_n

Wobec dowolności różniczek dx_x, dx₂, ...,dx„ wynika stąd, że

8y

8x_t

8F		8F
8xt	dy _	8x „
~8F’	8xn	8F ’
8y		8y

tak jak otrzymaliśmy wyżej.

Różniczkując jeszcze raz otrzymujemy

r8²F    8²F    8²F    1    8F ,

U-2^i + ... + —— dx„+-—— dy\dx_l + ... + —d y=0. 0Xi vX_B vXj uy J    uy

Wyznaczając stąd d²y znajdujemy pochodne

8²y ćfy 8²y 8x\

8xl’

itd.

8x_l 8x₂

Widać, że we wszystkich tych obliczeniach podstawową rolę odgrywa warunek

, ^dF „

^F>=ir*⁰-

dy

Przejdziemy teraz do rozpatrzenia układu równań (5). Będziemy zakładali, że w otoczeniu obranego punktu spełnione są założenia twierdzenia IV. Zwracamy znów uwagę czytelnika na rolę, którą będzie spełniał warunek 0.

Wiemy już, że funkcje uwikłane y_x, y₂, ..., y_m mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu względem x_lt x₂,    x„. Obliczyć zaś te pochodne można różniczkując tożsamości,

które otrzymuje się z (5), gdy przez y,, y₂,..., y_m rozumiemy te właśnie funkcje uwikłane. Na przykład różniczkowanie względem daje

8Ft 8F x 8xi ^+ 8yl	8y, 8xi	eyn	oxx
8Fm 8Fm 8xl 8yx	8y, 8xi	óFm ■^+ir °ym	8xt