0417

418

VI. Wyznaczniki funkcyjne i ich zastosowania

z tym tylko istotnym zastrzeżeniem, że tutaj punkt {x_lt x₂,..., x„_+m) również musi spełniać warunki dodatkowe (1) lub — co jest równoważne - (4). Łatwo dostrzec, że dla takich punktów przyrost funkcji/można zastąpić przez przyrost funkcji F, w której wszystkie czynniki X_t mają wartości X?:

A = F{x₁,x₂, ...,x_n+m)-F{x°₁,x₂, ...,x°_+m).

Ponieważ w punkcie M₀ spełnione są warunki (11) (na tym właśnie polega udogodnienie otrzymane przez wprowadzenie funkcji F), przyrost ten można przedstawić według wzoru Taylora (por. ustęp 198, (8)) tak

n + m    n+m

^A=i{ Z ^AJkAXjAx_k + X «Jk^AXj^Axk}>

j,k- 1    j,k = 1

gdzie

AXj = Xj — x°j ,    A_Jk = F_XjXk(xi,x₂, ..., x°_+m) 0’, k — \ ,2,..., n + m) ,

a a_jt-»0, gdy Ax_l-*0, dx₂-»0, ..., Ax_n-*0 (pozostałe przyrosty Ax_u+l, Ax_n+2, ..., Ax„_+m są przy tym nieskończenie małe wobec ciągłości funkcji (4)).

Zastąpmy tu przyrosty Axj wszystkich zmiennych odpowiednimi różniczkami dxj. W przypadku zmiennych niezależnych nic się w ogóle przez to nie zmienia, dla zmiennych zależnych zaś konsekwencje takiej zamiany sprowadzają się do zastąpienia nieskończenie małych współczynników tx_Jk przez inne nieskończenie małe fi_jk:

n+m    n+m

^=ł{ Z ^Ajkd^xj^dXk+ I Pjkdxjdx_k}.

J,k*= 1    j,k= 1

Przejście do różniczek jest korzystne, bo różniczki zmiennych zależnych i niezależnych związane są układem równań liniowych (8). Ponieważ wyznacznik (3) jest w punkcie M₀ z założenia różny od zera, z układu tego można różniczki zmiennych zależnych wyrazić liniowo przez różniczki zmiennych niezależnych. Podstawiając otrzymane w ten sposób wyrażenia do różnicy A otrzymamy zamiast pierwszej sumy formę kwadratową różniczek dx_L,dx₂,...,dx„.

Można teraz wykazać podobnie jak w ustępach 198 i 199, że jeśli ta forma jest określona dodatnio {ujemnie), to w badanym punkcie jest minimum {maksimum) warunkowe, jeżeli zaś forma ta jest nieokreślona, to ekstremum warunkowego w punkcie tym nie ma.

Praktyczna wartość tego kryterium jest zresztą niewielka (por. uwagę w ustępie 200). Przejdziemy teraz do przykładów i zadań.

214. Przykłady i zadania. 1) Należy znaleźć ekstremum funkcji f=x+y+z+t przy warunku 0= = xyzt—c* = 0. Obszar zmienności zmiennych określony jest nierównościami x>0, y> 0, z>0, t>0. Rozwiązaliśmy już to zadanie w ustępie 200, 4), wyznaczając t z warunku dodatkowego. Teraz zaś biorąc różniczkę zupełną obu stron tego równania otrzymujemy

dx dy dz dt

—+—+—+— x y z t

= 0,

skąd

/ dx dy dz\

*~'(7⁺7⁺7 '