0430

431

§ 4. Zamiana zmiennych

Zauważmy, że przejście od zmiennych x, y do zmiennych t, u według wzorów (6) może być interpretowane geometrycznie jako pewne przekształcenie punktowe płaszczyzny (lub jej części). Mianowicie, jeżeli rozpatrujemy x, y jako współrzędne pewnego punktu M na płaszczyźnie, a t, u jako współrzędne pewnego punktu P, to wzory (6) określają przekształcenie przeprowadzające punkt M w punkt P.

Weźmy teraz jakąkolwiek krzywą X na płaszczyźnie; równaniem tej krzywej niech będzie y—f (x). Tej zależności funkcyjnej między x i y odpowiada pewna zależność funkcyjna u = g(t) między t i u. Zależność ta także określa na płaszczyźnie pewną krzywą, oznaczmy ją przez X. Rozpatrywane przekształcenie (6) przeprowadza zatem krzywą X w krzywą X. Poprowadźmy w punkcie M pierwszej krzywej styczną o współczynniku kierunkowym dyjdx\ druga krzywa w odpowiednim punkcie P ma styczną o współczynniku kierunkowym dujdt, który jest określony wzorem (7). Tym samym współrzędne punktu M na krzywej X i współczynnik kierunkowy stycznej w M określają jednoznacznie współrzędne punktu P na przekształconej krzywej X i współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie P. Wynika stąd, że jeżeli przez punkt M przeprowadzimy dwie krzywe styczne w tym punkcie, to krzywe przekształcone będą także styczne w odpowiednim punkcie P. Rozpatrywane przekształcenie punktowe płaszczyzny zachowuje zatem styczność (patrz niżej przykład 5)).

218. Przykłady.

₂ dy dy x

Według wzorów (2) mamy

a i* Jr    (4 J    .

1) Dane jest równanie x —i+x——hy=0. Należy przekształcić je przyjmując x=e . dx    dx

dy_ dy    _₂, łd*y _ ^y\

dx ⁶ dt ’ dx^{2 6}    \rf/² dt j

i równanie przybiera postać

d_y

dt

-ń +y=°-

2) Przekształcić wyrażenie

W-

d^2y dy / dy\² dx² dx \ dxj

"~¥W

przyjmując x—t—y.

Będziemy mogli zastosować ogólny schemat, jeżeli napiszemy x — t—u, y~u. Według wzoru (2) otrzymujemy

dx d²y d²x dy dy (dx dy ^

W-

dx d y    d x dy    dy / dx dy\

dt    dt¹    dt² dt    dt \ dt ⁺ dt)

\ dt dt)

dx    dy

Z drugiej strony wzór na zamianę zmiennych daje — =1 —- . Podstawiając otrzymujemy ostatecznie

dt    dt

W-

d y dy dt² dt

3) Zamiana roli zmiennych. Przypuśćmy, że zamieniamy role zmiennej niezależnej x i jej funkcji y. Przekształcenie takie można podciągnąć pod ogólny schemat zamiany zmiennych przyjmując x=u, y=t. Postawmy sobie za zadanie wyrazić pochodne y względem x przez pochodne x względem y. Zwrócimy    d²y d³y

my się znowu do wzorów (2) zastępując w nich t przez y. Pomeważ —=1 i —-=—₅ = ...=0 , otrzy-

dy    dy    dy