0432

§ 4. Zamiana zmiennych

433

wyraża się teraz prościej wzorem

r

tg co=—-— • dr

d6

Położenie stycznej do krzywej przedstawionej równaniem biegunowym wygodniej jest wobec tego określać przez kąt co.

Rozpatrzmy jeszcze wyrażenie

dx²

przedstawiające, jak zobaczymy w ustępie 251, ważny niezmiennik geometryczny krzywej — promień krzywizny. Jeżeli podstawimy tu znalezione wyżej wyrażenia dla dy/dx i d¹yldx^I, to otrzymamy po uproszczeniu

5) Przekształcenie Legendre⁷a. Omówione w poprzednim ustępie zadanie, zamiany zmiennych można uogólnić dopuszczając występowanie pochodnych w samych wzorach na przekształcenie. Ograniczymy się do jednego przykładu tego typu. Mianowicie niech

dy

u—x--y.

dx

Przekształcenie to nazywa się przekształceniem Legendre'a.

Zróżniczkujmy drugi z tych wzorów względem x, traktując przy tym u występujące po lewej stronie wzoru jako funkcję x za pośrednictwem t (zależność t od r daje pierwszy wzór):

du    d²y    dy    d²y    dy    d²y

dt    dx²    dx    dx²    dx    dx²

dy

Zakładając, że —■=

dx

przekształcenie, mamy

^ 0, otrzymujemy stąd

du

dt

Wobec tego uwzględniając jeszcze wzory na

x

du

It

du

y-ł —--“■

dt

Wynika stąd symetria przekształcenia, tzn. t, u, dujdt wyrażają się przez x, y, dyjdx dokładnie tak samo, jak x, y, dy/dx przez t, u, dujdt.

Różniczkując w podobny sposób względem x równanie dujdt = x otrzymujemy

d²u d~y dt^' dx²

skąd

d²y 1 dx² ~ d²u '

It²

28 G. M. Fichtenholz