0428

429

§ 4. Zamiana zmiennych

Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy zamieniamy tylko zmienną niezależną i dany jest wzór na zamianę zmiennej wiążący bezpośrednio x z nową zmienną niezależną t.

Załóżmy, że wzór na zamianę zmiennej jest rozwiązany względem x

(1)    x=<p(t).

Jeżeli zmienna y jest funkcją x, to za pośrednictwem * jest ona funkcją t. W ustępie 121 wyprowadziliśmy już wzory wyrażające pochodne y względem x przez pochodne x i y względem t:

(2)

,3

d_y

dx³

	dy	dx d^2y	d^2x	dy
	dy dt	d^2 y dt dt^2	dt^2	dt
	dx dx	' dx^2 /a	’x\^3
	dt		>)
dx	{dx d^3y	d^3x dy \ d^2x	l dx	d^2y	d^2x
dt	\ dt dt^3	dt^3 dt) ^3 dt^2	\~dt	dt^2	dt^2

dy

dt

)

dx dr x dr x

Pochodne — , —_; , —r, ... otrzymujemy różniczkując funkcję (1), są więc one znanymi funkcjami dt    dt    dt    . .i

dy d y

dx dx²

zmiennej t. Pozostaje zatem tylko wstawić w wyrażeniu W zamiast pochodnych —, —j,... prawe

dy d y

strony wzorów (2) wyrażające te pochodne przez t, — , —5-

dt dt

Gdy wzór na zamianę zmiennej dany jest w postaci nierozwiązanej względem x

(3)    <P(x,t)=0,

dx d²x

to zadanie rozwiązuje się w istocie tak samo, tylko pochodne —, —- , ... oblicza się według reguł

dt dt²

różniczkowania funkcji uwikłanych (').

Przejdziemy teraz do przypadku ogólnego, gdy zamieniamy obie zmienne. Załóżmy najpierw, że wzory na zamianę zmiennych rozwiązane są względem starych zmiennych

(4)

x = y>(t,u), y=y/ (t, u).

Jeżeli y jest związane zależnością funkcyjną z x, to u będzie związane zależnością funkcyjną z t. Zatem wobec (4) x i y są funkcjami złożonymi zmiennej t. Zgodnie z regułą różniczkowania funkcji złożonych mamy

dx    dq>    dę    du dy    dt// dy/    du

dt    ot    du    dt    ’ dt    <// ⁺ du    dt

d²y    d²y/    dy/ d u

dt²    dt²    du    dt²

d²x    d²<p    d²y>    du    d²<p /du\²    dy>    d²u

dt²    dt²    dtdu    dt    du² \dt /    du    dt²

dx dy    .

Zwracamy uwagę czytelnika na to, że przez — ,    oznaczamy „całkowite ’ pochodne x 1 y

dt dt    ,    ,

dtp dy/

względem t, to znaczy obliczone z uwzględnieniem tego, że u zależy od t. Natomiast — , —, ...

dt dt

oznaczają pochodne cząstkowe funkcji y> i y/ względem t jako jednego z dwóch argumentów.

(‘) Jeżeli po podstawieniu do wyrażenia W wyrażeń znalezionych dla pochodnych zmienna x pozostanie jeszcze w wyrażeniu W, to rugujemy ją za pomocą (3).