24430

Zajmiemy się najpierw przypadkiem, gdy układ ma tyle samo zmiennych co niewiadomych, to znaczy gdy macierz współczynników A jest kwadratowa.

Układ n równań z n niewiadomymi

anXi + ai₂x₂ + . d₂\X\ d* ®22-^r2 d* .

• d- a_lnx_n = 6, . + (l2_nX_n = 62

(2)

• d" dnn%n —

a_nixi + a_n2x₂ + ..

nazywamy układem Cramera ^ł wtedy i tylko wtedy gdy det A fi 0, gdzie A = [«ij]nxn jest macierzą współczynników tego układu.

Jeśli A = [j4|,...,i4j,...,i4_n] jest macierzą współczynników układu, a B jest kolumną wyrazów wolnych to przez oznaczać będziemy macierz

[i4i,____B.....i4„), czyli >!(*) oznacza macierz, która powstała z macierzy

A przez zastąpienie i-tej kolumny, kolumną wyrazów wolnych.

Twierdzenie 1 Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie

(xi, x₂,.. . , Xn)

dane wzorami:

det A_(n)

det >l(i) det >1(2) £1 =    , x₂ =

Xn =

det >1    ‘ det>l    det>l

Dowód Jeśli zapiszemy układ (2) w postaci macierzowej:

A - X = B

to, ponieważ det >1 fi 0, to możemy równanie wymnożyć lewostronnie przez A~^l. Wtedy otrzymujemy:

X = A~^l • B

co oznacza, że rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne. Ponieważ:

1

a~' =

D\T

det >1

(■4)

i A^D = [c,j]. gdzie cy = ( —1)^,+^ det A^j, to mamy: x, = 5^4(0,161 + C_i2b2 d- . . . d- Cinbn) =

<kt.4U ^l)		• aei >i	ilOl +
	«11	«12 .	. fr.	... ai„
1	«21	«22 •	• f>2	• • • «2n
det A	^anl	a,i2 •	. 6n	• • • ®nn

= djb^detj4(0

A'-)

>G. Cranier (170-1-1752) -inatciiiatyk szwajcarski, zajmował się układami równań linio-wych i teorią wyznaczników.

2