0447

ROZDZIAŁ VII

ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO DO GEOMETRIE

§ 1. Przedstawienie analityczne krzywych i powierzchni

223. Krzywe na płaszczyźnie we współrzędnych prostokątnych. W rozdziale tym zajmiemy się pewnymi zastosowaniami poznanych pojęć, twierdzeń i metod rachunku różniczkowego w geometrii. Z niektórymi z tych zastosowań zetknęliśmy się już w ustępach 91, 141, 143, 145, 148, 180.

Uważamy za celowe przypomnieć najpierw czytelnikowi różne sposoby przedstawiania analitycznego krzywych i powierzchni; będzie temu poświęcony § 1. Zaznaczamy od razu, że wszystkie funkcje, o których będzie mowa w tym rozdziale, będą z założenia ciągle i będą miały ciągłe pochodne względem wszystkich argumentów; w razie potrzeby będziemy zakładali istnienie i ciągłość pochodnych wyższych rzędów.

Zaczniemy od krzywych płaskich, przy czym jako podstawę przyjmiemy prostokątny układ współrzędnych Oxy.

Dotychczas rozpatrywaliśmy już niejednokrotnie równanie postaci

(1)    y=f(x)    lub    x = g(y)

i badaliśmy krzywą odpowiadającą temu równaniu (ustępy 47, 91, 146 i następne). Gdy krzywa dana będzie w ten właśnie sposób, tzn. gdy jedna ze współrzędnych bieżących jej punktu będzie przedstawiona w postaci funkcji nieuwikłanej i jednoznacznej drugiej współrzędnej, to będziemy mówili, że krzywa jest dana (lub przedstawiona) w sposób nieuwiklany. Takie przedstawienie krzywej jest proste i poglądowe i jak zobaczymy później każdy sposób przedstawienia krzywej może być w pewnym sensie do niego sprowadzony.

W teorii funkcji uwikłanych mówiliśmy już także o uwikłanym przedstawieniu krzywej — gdy krzywa jest przedstawiona równaniem mającym postać

(2)    F(x,y) = 0,

nierozwiązanym ani względem x, ani względem y (ustęp 205 i następne). Równanie takie nazywamy równaniem uwikłanym krzywej.