0471

472

VII. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

to dla wszystkich tych punktów biegunowa podnormalna będzie wspólna, a więc i wspólny punkt N. Dla b = 0 otrzymujemy okrąg, dla którego konstrukcja normalnej jest oczywista, dzięki czemu łatwo jest znaleźć normalną do dowolnego ślimaka (rys. 135). Z trójkąta MON obliczamy odcinek normalnej biegunowej

n_t=yja¹ +2abco%8+b¹.

Szczególnie prostą postać ma ten wzór dla kardioidy ('), tzn. gdy b = a, mianowicie

n_p=2acos \9.

5) Lemniskata r¹ —2a² cos 29 (rys. 126 na str. 459).

Zróżniczkujmy tę równość traktując r jako funkcję 0:

rr'_e= —2a sin 26.

Dzieląc obie strony pierwszej równości przez odpowiednie strony drugiej otrzymujemy wobec wzoru (8):

r

tgeu=—= —ctg 26, f‘t

skąd (d — 29+\k. Oznaczając przez a i fi kąty nachylenia stycznej i normalnej do osi biegunowej, mamy

fi=u—in,    <x — (o + 9=38+iK.

Zatem fi =39, czyli kąt nachylenia osi biegunowej normalnej do lemniskaty równy jest potrojonemu kątowi biegunowemu punktu lemniskaty, w którym wystawiono normalną. Wynika z tego prosty sposób konstrukcji normalnej.

234. Styczna do krzywej przestrzennej. Płaszczyzna styczna do powierzchni.

1° W przypadku krzywej przestrzennej definicja stycznej pozostaje dokładnie taka sama, jak dla krzywej płaskiej [91]. Ograniczymy się do przypadku, gdy krzywa dana jest równaniami parametrycznymi

x=<p(t), y = v/(t), z=x(t) ■

Weźmy określoną wartość t i tym samym określony punkt M(x, y, z) na krzywej; niech to będzie punkt zwykły i pojedynczy [223]. Nadajmy parametrowi t przyrost At\ nowej wartości t + At parametru odpowiada drugi punkt M,(x+Ax, y + Ay) krzywej. Równanie siecznej MM_t ma postać

X-x_Y-y_Z-z Ax    Ay    Az

gdzie X, Y, Z są współrzędnymi bieżącymi. Sens geometryczny tych równań nie zmieni się, jeżeli wszystkie mianowniki podzielimy przez At:

X-x _Y-y _Z-z Ax    Ay    Az

At    At    At

O Właśnie ten szczególny przypadek przedstawiony jest na rys. 135.