0511

512

VH. Zastosowania rachunku różniczkowego do geometrii

Podstawiając znalezione wartości y' i y" do wzoru (7a) otrzymujemy

R*=3(axy)^1/3.

3) Cykloida x=a(t—sin f), y=a(l —cos t) (rys. 118 na str. 453).

Ponieważ (patrz ustęp 231, 4)) a=łn—łt, przeto da= —łdt. Dalej z łatwością obliczamy x,'=a(l—cost),    y,'=o sin f,    X? +y’,² =4a² sin² i t,

zatem

<fc=2asinif dt.

— =_v/jr(²+y_I'²=2asmi<, czyli dl

W tym przypadku dla obliczenia R można posłużyć się podstawowym wzorem (6):

R

ds

da

2ami\tdt -i dl

—4osinir.

Jeżeli przypomnimy sobie wyprowadzony w ustępie 231, 4) wzór na długość odcinka normalnej n, to zobaczymy, że

R=—2n.

Z tego wynika konstrukcja środka krzywizny C pokazana na rysunku.

4) Ewolwenta kola x=a(cas t+t sin /), y=a(sin t—t cos t) (rys. 121 na str. 456). Tutaj a = t [231, 6)], tak że da=dt. Dalej,

x',—atcost, y,'=atsin/,    x i²+y',¹—a²t¹,

skąd

ds

—=at, ds=atdl.

Wobec tego otrzymujemy od razu

ds

R= — =at—MB. da

Tym samym punkt styczności B, tzn. punkt, w którym nić schodzi z okręgu, jest środkiem krzywizny dla trajektorii końca M nici. Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej jest wyjściowy okrąg. Utknęliśmy się tutaj z sytuacją, którą w ogólnym przypadku rozpatrzymy niżej w ustępie 255.

5)    Spirala logarytmiczna r=ae^mt (rys. 134 na str. 471).

Jest teraz r'_$=mr, r','i = m²r. Podstawiając te wyrażenia do wzoru (7b) otrzymujemy

(r² + mV)^3/2    ,__;

^^_r^!+2m²r²-m²/^,2=r'^^mJ '

Ponieważ m=ctg m [233, 3)], znalezione wyrażenie można napisać w postaci

r

R=--

sińcu

Teraz z rysunku widać bezpośrednio, że odcinek normalnej biegunowej n_r=NM. Zatem środkiem krzywizny jest punkt N. Daje to łatwy sposób konstruowania środka krzywizny spirali logarytmicznej.

6)    Kardioida r=a{\ +cos 6) (rys. 135 na str. 471).