057

57

2.5. Funkcje charakterystyczne

2.5. Funkcje charakterystyczne

2.5.1. Definicje i własności

Zmienna losowa zespolona

Zmienną losową zespoloną nazywamy funkcję Z : O. —> C taką, że Z (co) = ZR(co) + iZI(co), gdzie ZR(co) i Zj(co) są rzeczywistymi zmiennymi losowymi zdefiniowanym w punkcie 2.1.1, a i jest jednostką urojoną. Dla zespolonej zmiennej losowej Z określamy wartość oczekiwaną wzorem EZ = EZ/? + /EZ/.

Funkcja cha- Funkcją charakterystyczną nazywamy funkcję ę zmiennej rzeczywistej t okre-rakterystyczna słoną wzorem

Niezależne zmienne bsowe

oo ę(t) = Ee"* = / e^itxdF(x), (2.5.1) — OO gdzie oczywiście Z = c^ltX = cos (tX) + i sin (tX). Uwaga. Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej. Twierdzenie 2.5.1. Funkcja charakterystyczna (p spełnia następujące warunki: (i)    jest jednostajnie ciągła, (ii)    9(0) = 1, (iii)    ę>(f) ^ 1 dla każdego t £ M, (iv)    ę(—t) — <p(t) dla każdego ręM. Funkcja charakterystyczna ma własności, które w wielu przypadkach pomagają obliczać i badać różne charakterystyki zmiennych losowych i ich rozkładów. Poniższe twierdzenie pozwala obliczyć rozkład i funkcję charakterystyczną sumy niezależnych zmiennych losowych. Twierdzenie 2.5.2. Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to 9x rY (0 ~ 9x(*)9y(*) > gdzie (px(t) i 9/(0 oznaczają odpowiednio funkcje charakterystyczne zmiennych losowych X i Y. Obliczanie momentów zmiennych losowych może być znacznie prostsze, gdy znamy ich funkcje charakterystyczne.