064

64

3. Twierdzenia graniczne

Z twierdzenia 3.1.4 wynika twierdzenie 1.2.2. Wniosek taki otrzymujemy przyjmując

Słabe prawo wielkich liczb dla prawdopodobieństwa sukcesu

1 dla (O £ Ay,

0 dla co ^ A •

oraz Pr(X,- = 1) — Pr(A₍) — p, Pr(X. = 0) = Pr(A.) — 1 — p = q. Jeśli zdarzenia A_i są niezależne, to zmienne losowe X_t są niezależne, o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym. Wtedy EX_;- — p — Pr(A-) i z twierdzenia 3.1.4 otrzymujemy następujący wniosek.

Wniosek 3.1.1.

Jeżeli X_t są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie zerojedynkowym, przy czym Pr(X- ~ \ ) — p, to dla każdego e > 0

lim Pr

X, + X, + -*-+X„

< £

n

Mocne prawo wielkich liczb

Mocne prawo wielkich liczb dla zmiennych losowych można sformułować następująco.

Twierdzenie 3.1.5.

Niech X_{)X₂,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, o wartości oczekiwanej m i wariancji o² < Wtedy

X_Ł+X₂H-----b X_n

lim —---= m

n—> oo    fi

(3.1.5)

Podobnie jak dla zdarzeń, twierdzenie 3.1.4 wynika z twierdzenia 3.1.5.

Z praw wielkich liczb wynika, że dla dużych n, wartość m można zastąpić

przez lim^oo (X_{ + X₂ H-----\-X_n)/n z dobrą dokładnością. Warunkiem jest

jednak istnienie wariancji. Uwagę tę ilustruje program Symulacje.

Twierdzenie 3.1.4 można sformułować ogólniej, nie zakładając, że X_i mają ten sam rozkład.

Twierdzenie 3.1.6.

Niech X_x, X₂,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych, m_i = EX, 0 < o² <°° spełniających warunek

1 "

lim af — 0.    (3.1.6)

_n->oo _n2 Z—/    '

i=l

Wtedy dla każdego £ > 0 mamy

lim Pr

X| + X₂ + * * * + X_n n

m _{ + m₂ -\-----b m_n

n

< £

(3.1.7)