Obraz2 (84)

64

Z twierdzenia Stokes'a wyciągamy wniosek: w przepływie bezwi-rowym ( co = 0) cyrkulacja wzdłuż linii zamkniętej jest równa zeru. Na przykład rozważmy cyrkulację wzdłuż linii A C B D A (rys. 43b) . Wielkość tę rozłożymy na dwie części, z których pierwsza dotyczy linii A C B a druga linii B D A. Stąd dla przepływu be żwirowego mamy:

J v dś = v dś +

v ds = 0

AC.BDA

ACB

BDA

■

% ■■

;

,    - i

m

M

f v d s = -J^vds = J' v ACB    BDA ADB

ds

Powyższy związek stwierdza, że cyrkulacja od punktu A do B w przepływie bezwirowym nie zależy od drogi, wzdłuż której ona przebiega. Stąd zaś wynika, że wyrażenie podcałkowe jest różniczką zupełną pewnej funkcji $    :

V ds

vd§ = v dx + v dy + v dz = d0 =    ^ ■ dx +

*    z    0x

■ • ■ ■

dy +

x y ' z    0 x    Oy

S.'*

bowiem jedynie przypadku otrzymamy związek: B    .B

Oz

dz (61)

J vds = f v ds = J¹ - § (B) - 0 . A-B    A    A

(A)

■f! ••    ■

mówiący, że cyrkulacja zależy od punktów końcowego i początkowego, a nie zależy od drogi, wzdłuż której cyrkulację się wyznacza.

Z równania (61 ) wynikają dalsze związki

	0*	— V
	0x	X
	00
		- - V y
	00	= V
• -V-.^ł '	Oz	z

• •

Mi,

		■
|§.;^:	■i'#/-'
		Z:
.'V, .		pote
		taki

( 61 a)

m wektorowe pole prędkości przepływu bezwirowego posiada ał $ (x, y, z, t) , zwany potencjałem prędkości; przepływ i nazywamy potencjalnym.

Czas t w przepływach potencjalnych nieustalonych odgrywa rolę parametru a nie zmiennej. Znając zależności (61 a) , potencjał prędkości wyznaczamy z równania (57a) , wykonując całkowanie od pewnego ustalonego punktu A wzdłuż dowolnej drogi do punktu B.

Jak stąd widzimy, warunkiem istnienia potencjału prędkości $    ,

jest bezwirowe pole prędkości U) = 0. Warunek ten napiszemy w innej formie, którą otrzymamy po wstawieniu związków (6la) do równań (58) i przyrównania ich do zera: