Obraz1 (84)

W celu uzasadnienia (uproszczonego) tego twierdzenia, obliczymy cyrkulację dookoła boków elementu płynu. Prędkości oraz przesunięcia (wartości i kierunki) wzdłuż poszczególnych boków elementu oznaczono na rys. 42.

0 v    0v

dy) dx - v dy

y

dT =vdx+(v + ——— dx)dy - (v + ~—— z x    y 3x    x Dy

dr =

z

Dv

W

- dx dy = 2 co d d

Dy I    z z

Dla elementów leżących w płaszczyznach (yz) , (zx) istnieją podobne związki. Wartość to_ndd dowolnego elementu powierzchni, wyrażamy za pomocą składowych :

cj dd = oj dd + (jj dd + o) dd n    xx y y z z

(J « Có $	(jJ
x y	2
Sfif <8$ V
dd , dd ,	dd

rzuty pola dd na powierzchnie prostopadłe odpowiednio do osi x, y, z.

•S• x*    • .'r .• • .

8

b)

Rys. 43. Cyrkulacje dookoła elementów pewnej powierzchni i całej powierzchni

* '*C.'    *'•    ' -

Z rysunku 43 jest widoczne, że

/yi> dó = Tv dś = r dr

tyt/ z z    ty    z

Cz    C₂

Wynika to stąd, że cyrkulacje wzdłuż wewnętrznych linii podziałowych wzajemnie się znoszą i otrzymamy w efekcie cyrkulację wzdłuż linii ograniczającej rzut danej powierzchni na płaszczyznę x, y. Takie same zależności otrzymamy dla całek z wartości co dd    <P_vdd .

xx y y

Wartości cyrkulacji wzdłuż linii C_x, Cy, C leżących odpowiednio w płaszczyznach y,/z; z,/x;    x,/y, po złożeniu dadzą cyrkulację

wzdłuż linii przestrzennej C, czyli wartość prawej strony równania (60) ; w ten sposób dowiedliśmy słuszność równania (60) .