072

= 0.

72

5. Estymacja

Zatem

—k n—k—l 0.5 —p~^ p

Stąd

n — k — l

2(n-ł) '

Estymator wyraża się więc wzorem

gdzie Zj i Z₀ są statystykami liczącymi wystąpienia wartości odpowiednio — 1 i 0 (k i / są realizacjami tych statystyk).

Przykład 5.1.5.

Gęstość rozkładu zmiennej losowej X wyraża się wzorem

Znaleźć estymatory parametru a metodą momentów i metodą największej wiarogodności dla n-elementowej próby prostej X^,X₂, • • ■ ,X_n o tym samym rozkładzie, mającej realizację x_l,x₂,...,x„.

Rozwiązanie.

Najpierw wyznaczymy estymator metodą momentów. Pierwszy moment nie zależy od a, bo m, = EX = 0, więc trzeba obliczyć moment drugi

Stąd a — ^J2m₂, a więc

Aby wyznaczyć estymator metodą największej wiarogodności, tworzymy funkcję wiarogodności L(xi ,x₂,... ,x_n;a) = f{x_[)f(x₂).. ./(*„). W tym przypadku

Tak określona funkcja L(a) osiąga maksimum w punkcie a = max(|x₁|,...,|x„|). W punkcie tym jest ona nieróżniczkowalna, a więc nie można tu stosować metod z przykładu 5.1.4. Ostatecznie a = max pij, X₂,..., X_n).