129

129

Odpowiedzi i wskazówki

n

B_n

£d²x,

n(n+ 1)(2 n+ 1) 6

n

Cn = E^El^X*|³ =

k= 1

n²{n+\)²

V2ń

lim —= = 0.

/100

^Pr    100 ) = Pr

U=iX_k .    100

-$(0.17) =0.4325.

4.1.1.    Niech X_; wysokość płacy i-tego pracownika, X ~ N(2,0.24). Wtedy Pr(X >1.8) = 4>(0.833) = 0.7967.

4.1.2.    X_; - liczba uzyskanych punktów przez i-tego kandydata, gdzie X_; są niezależnymi zmiennymi losowymi, EX_i = m. Wówczas X ma rozkład asymptotycznie normalny N(m,s/y/ń):

Pr(|X-m| < 1.5) « <1>(0.92) — <ł>(—0.92) = 2<£>(0.92) — 1 =0.6424.

4.1.3.    Nieznane a wyznacza się z równości Pr(—1 < X < 1) = 0.95, gdzie X jest błędem pomiaru, więc a = 0.51.

a)    nS²/a² ma rozkład chi-kwadrat o n — 1 stopniach swobody. Stąd Pr(0.2<5² <0.3) =0.1665,

b)    Dla dużych n korzysta się z faktu, że X² ma rozkład asymptotycznie normalny N(n, \/2n). Stąd Pr(S² > 0.28) w 0.27.

4.1.4.    Załóżmy, że kwartał ma 90 dni. Obliczamy Pr(.S'²    100) = Pr(xfg A 74.38). Ko

rzystając z asymptotycznej normalności %² otrzymujemy Pr(x² ^ 74.38) w <J>(-1.095) = 0.1379.

4.1.5. Gęstość zmiennej losowej Y: fn(2y+l)(l-y-y²)"-'

0

g(y) =

dlaye (0,(V5 —l)/2), poza tym.

4.1.6. Gęstość zmiennej losowej Y:

|^,«(cosy)(siny)"^_1 dla y e (0, n/2), I 0    poza tym.

£<»

4.1.7. Ponieważ X — Y ~ N(0,ff\/2/n), więc dla n = 8 jest Pr(|X — F| < 0.4cr) = 2<J>(0.8) - 1 = 0.5762.

4.2.1.    x = 10.0750, .y² = 2.0009.

4.2.2.    Dokonano n = 513 prób, x= 1.5322, y² = 1.5238. Porównanie prawdopodobieństw:

j	0	1	2	3	4	5	6	7
Pi	0.2183	0.3275	0.2534	0.1248	0.0624	0.0097	0.0019	0.0019
Pi	0.2144	0.3301	0.2542	0.1305	0.0502	0.0155	0.0040	0.0009