37

Niektóre z powyższych zależności wynikają z równania (56); wyprowadzenie innych, w których występuje kąt x, wymaga znajomości geometrii różniczkowej, a więc podano je tu bez dowodu. Na uwagę zasługuje zależność (60), z której wynika

Widzimy, że kąt zwrotu stycznej w dowolnym punkcie klotoidy jest równy połowie długości łuku, podzielonej przez promień krzywizny R. Dla łuku koła, jak pamiętamy, kąt zwrotu stycznej a (równający się kątowi środkowemu) jest równy ca-ł e j długości łuku, podzielonej przez, promień R i wynosi a = = L : R (patrz wzór 23).

3. Współrzędne p r o s to.k ąt n e k 1 o t dś

W celu wytyczenia klotoidy w terenie należy je||»pwnanie naturalne (56) przedstawić we współrzędnych prop^^ątnych. Rozwiązując to zadanie dojdziemy do tzw. całek Frenela, które nie dadzą się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Rozwijamy je więc na szereg i całkujemy kolejne wyrazy otrzymując:

X = L- ^Ł‘ • ^L*

Y =

40* a⁴

V

3456 -a*

_Li>

6-a⁸ 336-a⁶    42240- a¹⁶

(61)

W praktyce wystarczy uwzględnić tylko 2 lub 3 wyrazy tego rozwinięcia. Jeżeli w równaniach (61) zachowamy tylko po jednym wyrazie, to z pierwszego równania otrzymamy, że L = X, a wówczas

Y-

X⁸

6a^a

Otrzymaliśmy równanie p a r a b o 1 i trzeciego stopnia, która jest pierwszym przybliżeniem klotoidy i tylko w przybliżeniu spełnia omówione poprzednio warunki dobrej krzywej przejściowej.    ^—

Obraz ogólny klotoidy daje rysunek 65. Równania (61) wskazują, że dla L = 0 będzie X = Y = 0 i wtedy zgodnie z równaniem (59) R = oo. Za początek układu obrano punkt przegięcia krzywej. W punkcie tym klotoida jest styczna do osi X-ów. Gdy L rośnie, to jak wynika z wzoru (56), promień R maleje przebiegając wszystkie wartości od nieskończoności do zera, a klotoida zakrzywia się w sposób ciągły coraz bardziej i owija asymptotycznie wokół punktu położonego n^pMmiecznej I i III ćwiartki osi współrzędnych. Klotoida ma więe^^^^żdym punkcie inny promień krzywizny i w każdym z nich i||pemy tym promieniem zatoczyć okrąg, zwany okręgiem krzywizny lub okręgiem ściśle stycznym, lepiej bowiem przylega on do krzywej niż linia prosta, styczna w tym samym punkcie. Jeżeli pojazd porusza się po klotoidzie aż do takiego punktu P, w którym promień okręgu ściśle stycznego ma obraną wartość R, to dalej możemy trasę pojazdu poprowadzić po łuku tego okręgu i w ten sposób uzyskać? feiągłe przejście z klotoidy na łuk kołowy.

Klotoida składa się z dwóch gałęzi symetrycznych względem początku układu.    .przejściowej używa się tylko jej

części w pobliżu ptenktti przegięcia O. Część spiralna nie znajduje zastosowania przy tyczeniu tras..

4. Klotoida jedntfstkowa •    ¹ '    ,

Jeżeli w równaniu klotpidy (56j lub (6^rl> będziemy zmieniać parametr a, to    siaaianą para

metru będzie zmieniała się wielkość klotc^dy/ leCż nie ulegnie zmianie jej kształt, pocłobńi^:,jak'że ^sZ2mań%^bmiepia koła nie zmieni się jego kształty-lędi tylko wielkość. WSżyj&kie klotoidy są więc geometryczhie³,pódbbhe. Jeżeli odniesierńy je do

kys. 6$

jednego układu współrzędnych w ten sposób, że ich punkt przegięcia będzie leżał w początku układu, a styczna w punkcie przegięcia będzie osią X-ów, to wówczas klotoidy te przedstawiają rodzinę klotoid jednokładnych, dla których początek układu jest śr<M$|jem jednokładności, parametr a — waaółczynnikiem jednokład&|fti, prosta zaś, przechodząca przez p«jŁtek układu — promie^Hn jednokładności. Punkty położone lwpiym promieniu są pu3®Kmi przekształconymi jedńokładnie 66).

Z pojęciem jednokładności, znanym z nauki geometrii, spotkaliśmy się już w geodezji przy omawianiu teorii pantografu.

i

123