6a (10)

&

s

A

-f)

A/y

A«

O i ^ _n

Si S <*,

If {3

^ k

^v A

*?

/\1

O

łV90

Egzamin MAD Irok grupa A PJWSTK

4 luty 2002

Imię i Nazwisko.............................................................Numer indeksu.........................

^rń. Niech X będzie zbiorem mocy n.

•    Jaka jest moc zbioru wszystkich relacji binarnych w X? Odp.:..........................

•    Jaka jest moc zbioru wszystkich relacji binarnych symetrycznych określonych w X? Odp.:.

2. Niech A.B,C będą podzbiorami zbioru liczb naturalnych. A={3k :keN), B-zbiór liczb naturalnych parzystych, C={6!< : k eN}. Oblicz wartości wymienionych wyrażeń:

•    (A\B) nC = v    ' (A uC)\B^c =    (A n Q\B =

3.    Dane są predy katy S(.\)='.\ jest studentem'. Z(.\)=’x zda egzamin'. P(.\)='x jest dobrze przygotowany'. Zapisać

następujące zdania przy użyciu jedynie operatorów logicznych i podanych predy katów:    r    .    ,

•    Jeśli wszyscy studenci są dobrze przygotowani, to wszyscy studenci zdadza egzamin. Odp.Klt^l?.^.)....?. .^l*''

•    Każdy student dobrze przygotowany zda egzamin. Odp.:...^*l^.(i0.™..LlXkL4.2.(*l'.......................... ^

•    Niektórzy studenci nie zdad/ą egzaminu chociaż są dobrze przy gotowani. Odp.:i.K..1t)L.“™2..Z(Ą.d..\.^u0

4.    W pewnej grze. do każdego pytania są podane 4 możliwe odpowiedzi, z który cli tylko jedna jest prawdziwa. Gracz

nic zna odpowiedzi na żadne pytanie i za każdym razem losowo wybiera odpowiedź. Jakie jest prawdopodobieństwo, że    f/j A¹&

•    gracz, odpowie poprawnie na JO kolejnych pytań? Odp.:................................

•    gracz, nic odpow ie na żadne z 5 kolejnych pytań? Odp.:..................9................................

5.    Rzucono 3 razy sześcienną kostką do gry . Niech X będzie zmienną losową określającą lic/bę kostek z nieparzy stą liczbą wyrzuconych oczek.

•    Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej. Odp.:..........................................................................

•    Jakie jest prawdopodobieństwo, że X=3. jeśli wiadomo, że na dwóch pierwszych kostkach wyrzucono l?

Odp.:........................

fi. W zbiorze liczb naturalnych <16 określono relację równoważności: a = b wttw liczba jedynek w binarnej reprezentacji liczb a i b jest taka sama.

•    Ile klas abstrakcji ma ta relacja? Odp.:....<?..............

•    Podaj 2 przykłady elementów należących do tej samej klasy co 7.    Odp.:...fr^?..^ł...™?.r.f.£.........................

•    Dla każdej klasy abstrakcji ustal jaka jest jej moc. Odp.:........................................................ ^ -

w

7. Niech r będzic/el.icją binarną określoną w zbiorze liczb N. a r b wttw a+b jest liczbą parzy stą. Czy jest to

•    relacja porządku? TAK /NIE Uzasadnienie:. ...T?...r^..$..................................................................

• relacja równoważności? TAK/NIE

Uzasadnienie:...?...*..?..^.../™..

•    relacja dobrego porządku? TAK/NIE    Uzasadnienie...?.™..:’......................................................

Odpowiedź NIE uzasadniamy podając własność, których relacja nie posiada, odpowiedz: TAK uzasadniamy podając własności, które ta relacja posiada.

X. Dana jest pewna relacja równoważności r w 11-elementowym zbiorze X. Określ

•    sumę tcorio-mnogościową wszystkich klas abstrakcji tej relacji Odp.:..............................

•    przecięcie wszystkich klas abstrakcji tej relacji. Odp.:..................................

•    liczbę par klas abstrakcji, które mają niepuste przecięcie. Odp.:.........................................

9. Uzupełnij następujące zdania słowami, a następnie każde z nich zapisz przy użyciu symboli algebry zbiorów:

•    "uzupełnienie sumv zbiorów A i B jest równe iloczynowi.................................................................................".

-|(/f

•    "uzupełnienie różnicy zbioru A i B jest równe sumie    ...............................................................

-jM\ *-»( ^a * mp

10. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej £,=i.__n l/«2i-l)(2i+l))= n/(2n+l).